(a) f(x, y, z)=x^2+2 y^2+3 z^2 em (1,1,0) segundo a direção de (1,-1,2).
(b) f(x, y, z)=(x / y)^z em (1,1,1) segundo a direção de (2,1,-1).
© f(x, y, z)=sen(x^2+2 y-x y z^2) em (1,1,0) segundo a direção de (1,1,1).

Passo 1

O enunciado pede para calcular as derivadas direcionais das funções nos pontos indicados e segundo as direções fornecidas. O conteúdo principal é derivada direcional e gradiente em funções de três variáveis, e vamos precisar calcular o gradiente da função e o vetor unitário na direção dada.

Passo 2

A derivada direcional de f no ponto P segundo o vetor direção unitário u é dada por Du f(P) = nabla f(P) cdot u. Para isso, precisamos (i) calcular nabla f(x,y,z) e avaliá-lo em P e (ii) encontrar o vetor unitário u = v / |v|, onde v é a direção fornecida.

Passo 3

Para o item (a), f(x,y,z) = x^2 + 2y^2 + 3z^2. Calculamos nabla f = (2x, 4y, 6z). No ponto (1,1,0), nabla f = (2,4,0). A direção é v = (1,-1,2) com |v| = raiz6, logo u = l(tfrac1raiz6, -tfrac1raiz6, tfrac2raiz6r). Então Du f = (2,4,0)cdot u = tfrac2-4raiz6 = -tfrac2raiz6 = -tfracraiz63

Passo 4

Para o item (b), f(x,y,z) = (x/y)^z. Usamos derivadas parciais: partial f/partial x = tfraczxf, partial f/partial y = -tfraczyf, partial f/partial z = fln(x/y). No ponto (1,1,1), temos f=1, nabla f = (1,-1,0). A direção v=(2,1,-1) tem |v|=raiz6, então u = l(tfrac2raiz6,tfrac1raiz6,-tfrac1raiz6r). Logo Du f = (1,-1,0)cdot u = tfrac2-1raiz6 = tfrac1raiz6 = tfracraiz66

Passo 5

Para o item ©, f(x,y,z) = sin(x^2 + 2y - xy z^2). Chamamos g = x^2+2y-xyz^2, logo nabla f = cos(g),nabla g com nabla g = (2x - yz^2,,2 - xz^2,,-2xyz). No ponto (1,1,0), g=3 e nabla f = (2cos3,2cos3,0). A direção v=(1,1,1) tem |v|=raiz3, então u = l(tfrac1raiz3,tfrac1raiz3,tfrac1raiz3r). Assim $D_u f = (2\cos3,2\cos3,0)\cdot u = \tfrac{4\cos3}{\sqrt3} = \tfrac{4\sqrt3}{3}\cos3.

Resposta

a) -raiz63; b) raiz66; c) 4raiz33cos3

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