(a)
em
segundo a direção de
.
(b)
em
segundo a direção de
.
©
em
segundo a direção de
.
(b)
©
Passo 1
O enunciado pede para calcular as derivadas direcionais das funções nos pontos indicados e segundo as direções fornecidas. O conteúdo principal é derivada direcional e gradiente em funções de três variáveis, e vamos precisar calcular o gradiente da função e o vetor unitário na direção dada.
Passo 2
A derivada direcional de
no ponto
segundo o vetor direção unitário
é dada por
. Para isso, precisamos (i) calcular
e avaliá-lo em
e (ii) encontrar o vetor unitário
, onde
é a direção fornecida.
Passo 3
Para o item (a),
. Calculamos
. No ponto
,
. A direção é
com
, logo
. Então
Passo 4
Para o item (b),
. Usamos derivadas parciais:
,
,
. No ponto
, temos
,
. A direção
tem
, então
. Logo
Passo 5
Para o item ©,
. Chamamos
, logo
com
. No ponto
,
e
. A direção
tem
, então
. Assim $D_u f = (2\cos3,2\cos3,0)\cdot u = \tfrac{4\cos3}{\sqrt3} = \tfrac{4\sqrt3}{3}\cos3.
Resposta
a)
; b)
; c)