A uniform volume charge density of 0.2 \mu \mathrm{C} / \mathrm{m}^{3} is present throughout the spherical shell extending from r=3 \mathrm{~cm} to r=5 \mathrm{~cm}. If \rho_{v}=0 elsewhere:
a) find the total charge present throughout the shell
This will be
b) find r_{1} if half the total charge is located in the region 3 \mathrm{~cm}<r<r_{1}

Passo 1

O enunciado descreve uma casca esférica de raio interno a=3\text{ cm} e raio externo b=5\text{ cm} com densidade volumétrica de carga uniforme \rho_v=0,2\;\mu\text{C}/\text{m}^3, e pede:
a) a carga total Q_{\text{tot}} contida na casca;
b) o raio r_1 tal que a carga entre r=a e r=r_1 seja metade de Q_{\text{tot}}.
O conteúdo necessário envolve cálculo de volume de casca esférica e integrais triviais em coordenadas esféricas (ou uso direto da fórmula de volume).

Passo 2

Para a carga total usamos
Q_{\text{tot}}=\rho_v\cdot V_{\text{casca}}
onde
V_{\text{casca}}=\frac{4}{3}\pi\bigl(b^3 - a^3\bigr).
Convertendo a e b para metros: a=0,03\text{ m}, b=0,05\text{ m}. Logo
Q_{\text{tot}} =\rho_v\;\frac{4}{3}\pi\bigl(b^3-a^3\bigr) =0,2\times10^{-6}\;\frac{4}{3}\pi\bigl(0,05^3-0,03^3\bigr)\,\text{C}.

Passo 3

Calculando numericamente
b^3-a^3=0,05^3-0,03^3=1,25\times10^{-4}-2,7\times10^{-5}=9,8\times10^{-5}\,\text{m}^3
então
Q_{\text{tot}} =0,2\times10^{-6}\;\frac{4}{3}\pi\,(9,8\times10^{-5}) \approx8,21\times10^{-11}\,\text{C}.

Passo 4

Para achar r_1 impomos que a carga de a até r_1 seja metade de Q_{\text{tot}}. A carga até r é
Q(r)=\rho_v\;\frac{4}{3}\pi\bigl(r^3-a^3\bigr).
Logo o critério Q(r_1)=\tfrac12Q_{\text{tot}}
\frac{r_1^3-a^3}{b^3-a^3}=\frac12 \quad\Longrightarrow\quad r_1^3 = a^3 + \tfrac12\bigl(b^3-a^3\bigr) =\frac{a^3+b^3}{2}.

Passo 5

Substituindo a=0,03\text{ m}, b=0,05\text{ m}:
r_1^3=\frac{0,03^3+0,05^3}{2}=\frac{2,7\times10^{-5}+1,25\times10^{-4}}{2} =7,6\times10^{-5}\,\text{m}^3,
r_1=\bigl(7,6\times10^{-5}\bigr)^{1/3}\approx0,0423\;\text{m}=4,23\;\text{cm}.

Resposta

a) Q_{\text{tot}}\approx8{,}21\times10^{-11}\,\text{C}.
b) r_1\approx4{,}23\;\text{cm}.

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