Quando 22,63 \mathrm{~mL} de uma solução aquosa de NaOH são adicionados a 41,37 \mathrm{~mL} de água contendo 1,214 \mathrm{~g} de ácido hexil amino etanossulfônico ( \mathrm{MM}=207,29 \mathrm{~g} / \mathrm{mol} e \mathrm{pKa}=9,39 ) o pH resultante é de 9,24 . Calcule a concentração molar de NaOH .

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa:
  • Dados fornecidos:
    • Volume da solução de NaOH adicionada: 22,63\\ \mathrm{mL}.
    • Volume da solução que contém o ácido: 41,37\\ \mathrm{mL}.
    • Massa do ácido hexil amino etanossulfônico: 1,214\\ \mathrm{g}.
    • Massa molar do ácido: \mathrm{MM}=207,29\\ \mathrm{g·mol^{-1}}.
    • \mathrm{p}K_a=9,39.
    • pH resultante após adição de NaOH: 9,24.
  • Pergunta a responder:
    • Calcular a concentração molar da solução de NaOH (ou seja, C_{\mathrm{NaOH}} em \mathrm{mol·L^{-1}}).

Passo 2

Primeiro calculemos a quantidade de matéria (moles) do ácido inicial. A relação é
n=\frac{m}{M},
onde n é o número de mols, m é a massa e M é a massa molar. Aplicando aos dados:
n_{\mathrm{HA},0}=\frac{1,214}{207,29}.
Agora fazemos a divisão (detalhando a ideia): estamos a dividir a massa em gramas pela massa de um mol em gramas para obter quantos mols existem. Fazendo a conta obtemos (arredondando com cuidado):
n_{\mathrm{HA},0}\approx 0,0058565\\ \mathrm{mol}.

Passo 3

Reação entre o ácido monoprotico \mathrm{HA} e \mathrm{OH^-} é estequiometricamente 1:1:
\mathrm{HA} + \mathrm{OH^-} \longrightarrow \mathrm{A^-} + \mathrm{H_2O}.
Se n_{\mathrm{OH}} for o número de mols de \mathrm{OH^-} adicionados, ao equilíbrio (após mistura) teremos:
  • mols de \mathrm{A^-}: n_{\mathrm{A^-}} = n_{\mathrm{OH}} (cada \mathrm{OH^-} forma um \mathrm{A^-}),
  • mols de \mathrm{HA} remanescentes: n_{\mathrm{HA}} = n_{\mathrm{HA},0} - n_{\mathrm{OH}}.
Observação importante: após a mistura o volume é o mesmo para ambas as espécies, então a razão de concentrações [\mathrm{A^-}]/[\mathrm{HA}] é igual à razão de mols n_{\mathrm{A^-}}/n_{\mathrm{HA}}.

Passo 4

Usamos a equação de Henderson–Hasselbalch, que relaciona pH, \mathrm{p}K_a e a razão base conjugada/ácido:
\mathrm{pH}=\mathrm{p}K_a+\log\left(\frac{[\mathrm{A^-}]}{[\mathrm{HA}]}\right).
Aqui [\mathrm{A^-}]/[\mathrm{HA}]=n_{\mathrm{A^-}}/n_{\mathrm{HA}}, então
\mathrm{pH}=\mathrm{p}K_a+\log\left(\frac{n_{\mathrm{OH}}}{\,n_{\mathrm{HA},0}-n_{\mathrm{OH}}\,}\right).
Substituímos \mathrm{pH}=9,24 e \mathrm{p}K_a=9,39. Primeiro calculemos a diferença:
\mathrm{pH}-\mathrm{p}K_a=9,24-9,39=-0,15.
Assim
\log\left(\frac{n_{\mathrm{OH}}}{n_{\mathrm{HA},0}-n_{\mathrm{OH}}}\right)=-0,15.
Passando do logaritmo decimal para a razão,
\frac{n_{\mathrm{OH}}}{n_{\mathrm{HA},0}-n_{\mathrm{OH}}}=10^{-0,15}\approx 0,708.

Passo 5

Resolvemos a equação anterior para n_{\mathrm{OH}}. Chamando r=10^{-0,15} (já calculado como r\approx0,708), temos
n_{\mathrm{OH}}=r\bigl(n_{\mathrm{HA},0}-n_{\mathrm{OH}}\bigr).
Distribuindo e isolando n_{\mathrm{OH}}:
n_{\mathrm{OH}}=r\,n_{\mathrm{HA},0}-r\,n_{\mathrm{OH}}
n_{\mathrm{OH}}(1+r)=r\,n_{\mathrm{HA},0}
n_{\mathrm{OH}}=\frac{r}{1+r}\,n_{\mathrm{HA},0}.
Agora substituímos os valores: r\approx0,708 e n_{\mathrm{HA},0}\approx0,0058565\\ \mathrm{mol}.
n_{\mathrm{OH}}=\frac{0,708}{1+0,708}\times 0,0058565 =\frac{0,708}{1,708}\times 0,0058565 \approx 0,41447\times 0,0058565 \approx 0,0024274\\ \mathrm{mol}.

Passo 6

Agora calculamos a concentração da solução de NaOH. A concentração molar é
C_{\mathrm{NaOH}}=\frac{n_{\mathrm{OH}}}{V_{\mathrm{NaOH}}},
onde V_{\mathrm{NaOH}} é o volume da porção de NaOH em litros. Convertendo 22,63\\ \mathrm{mL} para litros:
V_{\mathrm{NaOH}}=22,63\\ \mathrm{mL}=0,02263\\ \mathrm{L}.
Logo
C_{\mathrm{NaOH}}=\frac{0,0024274}{0,02263}\approx 0,1073\\ \mathrm{mol\cdot L^{-1}}.

Passo 7

Breve conferência e comentários:
  • Assumimos que o ácido é efetivamente monoprotico (1 H titulado por 1 OH^-), o que é coerente com a estequiometria usada.
  • Usamos a equação de Henderson–Hasselbalch que vale para sistemas ácido/base conjugada onde ambos os componentes estão presentes (situação de tampão). Aqui isso é válido porque após a adição há mistura de \mathrm{HA} e \mathrm{A^-}.
  • Arredondei mantendo precisão compatível com os dados; a resposta final foi dada com quatro algarismos significativos, condizente com as medidas.

Resposta

0,1073\\ \mathrm{mol\cdot L^{-1}}

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