O sangue humano é controlado por vários sistemas de tampões, entre eles destaca-se a reação a seguir: \mathrm{H}_{2} \mathrm{PO}_{4}^{-}+\mathrm{H}_{2} \mathrm{O} \rightleftharpoons \mathrm{H}_{3} \mathrm{O}^{+}+\mathrm{HPO}_{4}^{-}. Se Ka for \mathrm{H}_{2} \mathrm{PO}_{4}^{-}é 6,2 \times 10^{-8}, calcule a razão de \mathrm{H}_{2} \mathrm{PO}_{4}{ }^{-} / \mathrm{HPO}_{4}{ }^{-}para manutenção do pH do sangue em 7,4 .

Passo 1

O enunciado pede que eu calcule a razão entre as concentrações de \mathrm{H}_{2}\mathrm{PO}_{4}^{-} e \mathrm{HPO}_{4}^{2-} necessárias para manter o pH do sangue em 7,4.
Informações fornecidas:
\mathrm{H}_{2}\mathrm{PO}_{4}^{-} + \mathrm{H}_{2}\mathrm{O} \rightleftharpoons \mathrm{H}_{3}\mathrm{O}^{+} + \mathrm{HPO}_{4}^{2-}
constante de acidez do ácido conjugado \mathrm{H}_{2}\mathrm{PO}_{4}^{-}:
K_a = 6,2\times10^{-8}.
O que preciso encontrar: a razão
\frac{[\mathrm{H}_{2}\mathrm{PO}_{4}^{-}]}{[\mathrm{HPO}_{4}^{2-}]}.

Passo 2

Entendendo a definição de K_a (passo-a-passo didático). Para a reação genérica
\mathrm{HA} \rightleftharpoons \mathrm{H}^{+} + \mathrm{A}^{-},
a constante de acidez é definida como
K_a=\frac{[\mathrm{H}^{+}][\mathrm{A}^{-}]}{[\mathrm{HA}]}.
Aqui podemos identificar \mathrm{HA}=\mathrm{H}_{2}\mathrm{PO}_{4}^{-} e \mathrm{A}^{-}=\mathrm{HPO}_{4}^{2-}. Substituindo:
K_a=\frac{[\mathrm{H}_{3}\mathrm{O}^{+}]\,[\mathrm{HPO}_{4}^{2-}]}{[\mathrm{H}_{2}\mathrm{PO}_{4}^{-}]}.
Essa fórmula diz: quanto maior K_a, mais forte o ácido (mais dissociado). Cada símbolo [\cdot] significa “concentração em mol·L^{-1}” da espécie entre colchetes.

Passo 3

Isolando a razão que queremos a partir da expressão de K_a. Da expressão acima:
\frac{[\mathrm{H}_{2}\mathrm{PO}_{4}^{-}]}{[\mathrm{HPO}_{4}^{2-}]}=\frac{[\mathrm{H}_{3}\mathrm{O}^{+}]}{K_a}.
Ou seja: para manter o equilíbrio a essa acidez, a razão ácido/base conjugada é igual à concentração de \mathrm{H}^{+} dividida por K_a. Isso já nos dá a receita: calcular [\mathrm{H}^{+}] a partir do pH e dividir por K_a.

Passo 4

Calcular [\mathrm{H}^{+}] a partir do pH. A relação é
\mathrm{pH}=-\log_{10}[\mathrm{H}^{+}]\quad\Longrightarrow\quad [\mathrm{H}^{+}]=10^{-\mathrm{pH}}.
Para \mathrm{pH}=7,4:
[\mathrm{H}^{+}]=10^{-7,4}.
Vou avaliar numericamente 10^{-7,4}. Podemos escrever
10^{-7,4}=10^{-7}\times10^{-0,4}.
Sabendo que 10^{-0,4}\approx0,3981, obtemos
[\mathrm{H}^{+}]\approx 10^{-7}\times0,3981=3,98\times10^{-8}.

Passo 5

Agora calculo a razão usando a fórmula do Passo 3:
\frac{[\mathrm{H}_{2}\mathrm{PO}_{4}^{-}]}{[\mathrm{HPO}_{4}^{2-}]}=\frac{[\mathrm{H}^{+}]}{K_a}=\frac{3,98\times10^{-8}}{6,2\times10^{-8}}.
Ao dividir, os 10^{-8} cancelam e sobra
\frac{3,98}{6,2}\approx0,642.
Portanto a razão desejada é aproximadamente 0,642.

Passo 6

Verificação alternativa (Henderson–Hasselbalch) — explico rapidinho porque é a mesma coisa e é útil na prova. A forma de Henderson–Hasselbalch para um ácido fraco é
\mathrm{pH}=\mathrm{p}K_a+\log_{10}\frac{[\mathrm{A}^{-}]}{[\mathrm{HA}]},
onde \mathrm{p}K_a=-\log_{10}K_a. Calculando \mathrm{p}K_a:
\mathrm{p}K_a=-\log_{10}(6,2\times10^{-8})\approx7,208.
Então
\log_{10}\frac{[\mathrm{A}^{-}]}{[\mathrm{HA}]}=\mathrm{pH}-\mathrm{p}K_a=7,4-7,208=0,192,
\frac{[\mathrm{A}^{-}]}{[\mathrm{HA}]}=10^{0,192}\approx1,56.
Tomando a recíproca:
\frac{[\mathrm{HA}]}{[\mathrm{A}^{-}]}\approx\frac{1}{1,56}\approx0,641,
que bate com 0,642 do método direto — boa checagem.

Passo 7

Interpretação final curta e incentivo: o resultado \approx0,64 significa que, para manter o sangue em pH 7,4, a concentração de \mathrm{H}_{2}\mathrm{PO}_{4}^{-} deve ser cerca de 64\% da concentração de \mathrm{HPO}_{4}^{2-}. Em outras palavras, há um pouco mais da base conjugada ( \mathrm{HPO}_{4}^{2-}) do que do ácido ( \mathrm{H}_{2}\mathrm{PO}_{4}^{-}) nesse tampão nesse pH — e isso é completamente razoável. Força aí nos estudos, você tá indo bem!

Resposta

0,642

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