1. 22.81 Um dipolo elétrico de momento dipolar \vec{p}=(3,00 \hat{\imath}+4,00 \hat{\jmath})\left(1,24 x 10^{-30} C . m\right) é submetido a um campo elétrico \vec{E}=(4000 N / C) \hat{\imath}.(a) Qual é a energia potencial do dipolo elétrico? (b) Qual é o torque que age sobre o dipolo? (c) Se um agente externo faz girar o dipolo até que o momento dipolar seja \vec{p}=(-4,00 \hat{\imath}+3,00 \hat{\jmath})\left(1,24 \times 10^{-30} C . m\right) qual é o trabalho realizado pelo agente externo?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações (peguei os números do enunciado):
  • Momento dipolar inicial:
\vec{p}=(3{,}00\,\hat{\imath}+4{,}00\,\hat{\jmath})\left(1{,}24\times10^{-30}\\ \mathrm{C\cdot m}\right).
Isto significa que os componentes do momento dipolar são
p_x=3{,}00\times1{,}24\times10^{-30},\qquad p_y=4{,}00\times1{,}24\times10^{-30},\qquad p_z=0.
  • Campo elétrico:
\vec{E}=(4000\\ \mathrm{N/C})\,\hat{\imath}.
Ou seja E_x=4000\\ \mathrm{N/C}, E_y=0, E_z=0.
O enunciado pede:
(a) a energia potencial do dipolo elétrico no campo;
(b) o torque que age sobre o dipolo;
(c) se o dipolo é levado ao novo momento \vec{p}'=(-4{,}00\,\hat{\imath}+3{,}00\,\hat{\jmath})\left(1{,}24\times10^{-30}\\ \mathrm{C\cdot m}\right), qual é o trabalho realizado pelo agente externo.

Passo 2

Fórmula e explicação para a energia potencial: para um dipolo elétrico em um campo elétrico uniforme a energia potencial é dada por
U = -\vec{p}\cdot\vec{E},
onde \vec{p} é o momento dipolar (em \mathrm{C\cdot m}) e \vec{E} é o campo elétrico (em \mathrm{N/C}). O produto escalar \vec{p}\cdot\vec{E} é definido por
\vec{p}\cdot\vec{E}=p_xE_x+p_yE_y+p_zE_z.
Aqui p_x,p_y,p_z são as componentes de \vec{p} e E_x,E_y,E_z as de \vec{E}.
Calculemos primeiro os componentes numéricos de \vec{p}:
p_x = 3{,}00\times1{,}24\times10^{-30}=3{,}72\times10^{-30}\\ \mathrm{C\cdot m},
p_y = 4{,}00\times1{,}24\times10^{-30}=4{,}96\times10^{-30}\\ \mathrm{C\cdot m},
p_z=0.
Como \vec{E} só tem componente E_x=4000\\ \mathrm{N/C}, o produto escalar é
\vec{p}\cdot\vec{E}=p_xE_x=(3{,}72\times10^{-30})(4000)=1{,}488\times10^{-26}\\ \mathrm{J}.
Portanto a energia potencial inicial é
U_i = -\vec{p}\cdot\vec{E}=-1{,}488\times10^{-26}\\ \mathrm{J}.
Arredondando para três algarismos significativos:
U_i \approx -1{,}49\times10^{-26}\\ \mathrm{J}.

Passo 3

Fórmula e explicação para o torque: o torque sobre um dipolo num campo elétrico uniforme é
\vec{\tau}=\vec{p}\times\vec{E},
onde \times é o produto vetorial. Em componentes,
\vec{\tau}=(\tau_x,\tau_y,\tau_z),
com
\tau_x = p_yE_z-p_zE_y,\qquad \tau_y = p_zE_x-p_xE_z,\qquad \tau_z = p_xE_y-p_yE_x.
Aqui p_z=0 e E_y=E_z=0, então só resta a componente z:
\tau_z = -p_yE_x.
Substituindo os valores:
\tau_z = -(4{,}96\times10^{-30})(4000) = -1{,}984\times10^{-26}\\ \mathrm{N\cdot m}.
Logo o torque é
\vec{\tau} = -1{,}984\times10^{-26}\\ \hat{k}\\ \mathrm{N\cdot m}.
Arredondando para três algarismos significativos:
\vec{\tau}\approx -1{,}98\times10^{-26}\,\hat{k}\\ \mathrm{N\cdot m}.
Interpretação física curta (pra fixar): o torque aponta em direção -\hat{k}, isto é, perpendicular ao plano xy, tentando girar \vec{p} para alinhar com \vec{E}.

Passo 4

Cálculo do trabalho realizado pelo agente externo ao girar o dipolo: se a rotação é feita lentamente (quase estática), o trabalho realizado pelo agente externo é igual à variação da energia potencial do dipolo:
W_{\text{ext}} = \Delta U = U_f - U_i,
onde U_f é a energia potencial no estado final e U_i a inicial. (Explicação do porquê: o trabalho realizado pelo agente externo contra o campo aumenta a energia potencial do sistema; o trabalho realizado pelo campo seria o negativo disso.)
Calculemos \vec{p}' componentes a partir do enunciado:
p'_x = -4{,}00\times1{,}24\times10^{-30} = -4{,}96\times10^{-30}\\ \mathrm{C\cdot m},
p'_y = 3{,}00\times1{,}24\times10^{-30} = 3{,}72\times10^{-30}\\ \mathrm{C\cdot m},
p'_z=0.
Produto escalar final:
\vec{p}'\cdot\vec{E}=p'_xE_x = (-4{,}96\times10^{-30})(4000) = -1{,}984\times10^{-26}\\ \mathrm{J}.
Energia potencial final:
U_f = -\vec{p}'\cdot\vec{E} = -(-1{,}984\times10^{-26}) = 1{,}984\times10^{-26}\\ \mathrm{J}.
Agora a variação:
\Delta U = U_f - U_i = 1{,}984\times10^{-26} - (-1{,}488\times10^{-26}) = 3{,}472\times10^{-26}\\ \mathrm{J}.
Arredondando para três algarismos significativos:
W_{\text{ext}} = \Delta U \approx 3{,}47\times10^{-26}\\ \mathrm{J}.

Resposta

(a) -1{,}49\times10^{-26}\\ \mathrm{J}
(b) -1{,}98\times10^{-26}\,\hat{k}\\ \mathrm{N\cdot m}
(c) 3{,}47\times10^{-26}\\ \mathrm{J}

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