descreva e esboce o maior domínio possível da função real de duas ou de três variáveis, isto é, descreva analiticamente e represente geometricamente o maior subconjunto do
\mathbb{R}^{2} ou do
\mathbb{R}^{3} que torna a expressão que define a função, verdadeira em
\mathbb{R}
f(x, y)=\operatorname{arcsen}(x-y)

Passo 1

O que o enunciado pede e o que é dado:
  • Pede para encontrar o maior domínio possível (em \mathbb{R}^{2} e em \mathbb{R}^{3}) em que a expressão
f(x,y)=\operatorname{arcsen}(x-y)
é uma função real (isto é, o valor dentro de \operatorname{arcsen} deve ser um número real admissível).
  • Informação importante dada pela expressão: o argumento de \operatorname{arcsen} é x-y.
As perguntas implícitas que devemos responder:
  • Qual a condição sobre x e y para que \operatorname{arcsen}(x-y) seja real?
  • Como descrever analiticamente esse conjunto em \mathbb{R}^{2}?
  • Como representar geometricamente esse conjunto em \mathbb{R}^{2}?
  • Como se estende essa descrição para \mathbb{R}^{3} (quando há uma coordenada a mais, por exemplo z)?

Passo 2

Regra essencial sobre \operatorname{arcsen} (a “aula rápida”):
  • A função \operatorname{arcsen}(t) só está definida (como número real) para valores de t dentro do intervalo fechado
[-1,1].
  • Isso significa que, para nossa função, precisamos ter
-1 \le x-y \le 1.
Explicando devagar: \operatorname{arcsen} recebe um número t. Se t sair do intervalo [-1,1], \operatorname{arcsen}(t) não é um número real (é complexo), então proibimos esses t. Aqui t=x-y, logo impomos a desigualdade acima.

Passo 3

Escrever a condição de forma equivalente e conveniente:
  • A desigualdade dupla
-1 \le x-y \le 1
é equivalente à desigualdade com valor absoluto
|x-y| \le 1.
  • Em forma de conjunto (descrição analítica em \mathbb{R}^{2}):
D_{2}=\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid |x-y|\le 1\}.
Isto já é o domínio máximo em \mathbb{R}^{2}.

Passo 4

Interpretação geométrica em \mathbb{R}^{2} — como é o conjunto:
  • As curvas que limitam a região vêm das igualdades x-y=1 e x-y=-1.
  • Reescrevendo-as em forma de retas explicitamente em y:
x-y=1 \iff y=x-1, \qquad x-y=-1 \iff y=x+1.
  • Essas são duas retas paralelas de coeficiente angular 1 (ou seja, inclinadas 45^\circ em relação aos eixos).
  • O domínio D_{2} é o bloco fechado (a faixa) entre essas duas retas, incluindo as próprias retas. Em linguagem simples: é uma faixa infinita e reta no plano, limitada por y=x+1 e y=x-1.
  • Distância perpendicular entre as duas retas (uma observação útil): a distância entre x-y=1 e x-y=-1 é
\frac{|1-(-1)|}{\sqrt{1^{2}+(-1)^{2}}}=\frac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}.
Ou seja, a largura (distância perpendicular) da faixa é \sqrt{2}.

Passo 5

Como esboçar a região no papel (passo a passo prático para a prova):
  1. Desenhe os eixos x e y.
  2. Desenhe a reta y=x-1: ela intercepta o eixo y em (0,-1) e passa por (1,0).
  3. Desenhe a reta y=x+1: intercepta o eixo y em (0,1) e passa por (1,2).
  4. A região válida é tudo entre essas duas retas, incluindo as linhas (faixa preenchida).
  5. Opcional: marque alguns pontos-teste: por exemplo (0,0) está dentro pois 0-0=0 e |0|\le1; (1,-1) tem 1-(-1)=2 fora; (0,1) está na fronteira pois 0-1=-1.

Passo 6

Descrição em \mathbb{R}^{3} (quando há uma terceira coordenada z):
  • Se a função depender só de x e y (como aqui), a coordenada z é livre — qualquer valor de z não afeta a condição.
  • Portanto o domínio máximo em \mathbb{R}^{3} é
D_{3}=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^{3}\mid |x-y|\le 1\}.
  • Geometricamente, D_{3} é a “faixa” do plano xy estendida em direção ao eixo z: um prisma (ou um slab) infinito paralelo ao eixo z, limitado pelas duas superfícies planas
x-y=1\quad\text{e}\quad x-y=-1,
que são planos paralelos em \mathbb{R}^{3}.
  • A distância entre esses planos também é \sqrt{2} (mesmo cálculo que no caso 2D).

Passo 7

Formas alternativas de escrever os domínios (úteis na prova):
  • Em notação por desigualdades:
D_{2}=\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid -1\le x-y\le 1\}.
D_{3}=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^{3}\mid -1\le x-y\le 1\}.
  • Em desigualdade com valor absoluto (curto e claro):
D_{2}=\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid |x-y|\le 1\}, \qquad D_{3}=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^{3}\mid |x-y|\le 1\}.

Passo 8

Exemplos numéricos e verificação — para fixar:
  • (x,y)=(0,0): x-y=0, \operatorname{arcsen}(0)=0 — ponto válido.
  • (x,y)=(0,1): x-y=-1, \operatorname{arcsen}(-1)=-\tfrac{\pi}{2} — ponto na fronteira, válido.
  • (x,y)=(1,-1): x-y=2, fora de [-1,1], função não definida (não é permitido).
  • Em \mathbb{R}^{3}, todos os pontos (0,0,z) com qualquer z são válidos porque x-y=0.

Resposta

Domínio em \mathbb{R}^{2}: \{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid |x-y|\le 1\}.
Domínio em \mathbb{R}^{3}: \{(x,y,z)\in\mathbb{R}^{3}\mid |x-y|\le 1\}.

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