descreva e esboce o maior domínio possível da função real de duas ou de três variáveis, isto é, descreva analiticamente e represente geometricamente o maior subconjunto do
ou do
que torna a expressão que define a função, verdadeira em
Passo 1
O que o enunciado pede e o que é dado:
- Pede para encontrar o maior domínio possível (em
e em ) em que a expressão
é uma função real (isto é, o valor dentro de
deve ser um número real admissível).
- Informação importante dada pela expressão: o argumento de
é .
As perguntas implícitas que devemos responder:
- Qual a condição sobre
e para que seja real? - Como descrever analiticamente esse conjunto em
? - Como representar geometricamente esse conjunto em
? - Como se estende essa descrição para
(quando há uma coordenada a mais, por exemplo )?
Passo 2
Regra essencial sobre
(a “aula rápida”):
- A função
só está definida (como número real) para valores de dentro do intervalo fechado
- Isso significa que, para nossa função, precisamos ter
Explicando devagar:
recebe um número
. Se
sair do intervalo
,
não é um número real (é complexo), então proibimos esses
. Aqui
, logo impomos a desigualdade acima.
Passo 3
Escrever a condição de forma equivalente e conveniente:
- A desigualdade dupla
é equivalente à desigualdade com valor absoluto
- Em forma de conjunto (descrição analítica em
):
Isto já é o domínio máximo em
.
Passo 4
Interpretação geométrica em
— como é o conjunto:
- As curvas que limitam a região vêm das igualdades
e . - Reescrevendo-as em forma de retas explicitamente em
:
- Essas são duas retas paralelas de coeficiente angular
(ou seja, inclinadas em relação aos eixos). - O domínio
é o bloco fechado (a faixa) entre essas duas retas, incluindo as próprias retas. Em linguagem simples: é uma faixa infinita e reta no plano, limitada por e . - Distância perpendicular entre as duas retas (uma observação útil): a distância entre
e é
Ou seja, a largura (distância perpendicular) da faixa é
.
Passo 5
Como esboçar a região no papel (passo a passo prático para a prova):
- Desenhe os eixos
e . - Desenhe a reta
: ela intercepta o eixo em e passa por . - Desenhe a reta
: intercepta o eixo em e passa por . - A região válida é tudo entre essas duas retas, incluindo as linhas (faixa preenchida).
- Opcional: marque alguns pontos-teste: por exemplo
está dentro pois e ; tem fora; está na fronteira pois .
Passo 6
Descrição em
(quando há uma terceira coordenada
):
- Se a função depender só de
e (como aqui), a coordenada é livre — qualquer valor de não afeta a condição. - Portanto o domínio máximo em
é
- Geometricamente,
é a “faixa” do plano estendida em direção ao eixo : um prisma (ou um slab) infinito paralelo ao eixo , limitado pelas duas superfícies planas
que são planos paralelos em
.
- A distância entre esses planos também é
(mesmo cálculo que no caso 2D).
Passo 7
Formas alternativas de escrever os domínios (úteis na prova):
- Em notação por desigualdades:
- Em desigualdade com valor absoluto (curto e claro):
Passo 8
Exemplos numéricos e verificação — para fixar:
-
: , — ponto válido. -
: , — ponto na fronteira, válido. -
: , fora de , função não definida (não é permitido). - Em
, todos os pontos com qualquer são válidos porque .
Resposta
Domínio em
:
.
Domínio em
:
.