Em cada um dos exercícios chame de n o nível da função dada e encontre todos os possíveis valores de n. Chame de \mathcal{C}_{n}(f) o conjunto de nível n de f e descreva analiticamente todos os posssíveis conjuntos de nível n da função dada e ainda, se for possível, represente-os geometricamente.
f(x, y)=x^{2}+y^{2}

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos é dado.
  • A função dada é f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R} definida por
f(x,y)=x^{2}+y^{2}.
  • Foi pedido:
    1. Chamar de n o nível da função e encontrar todos os possíveis valores de n (isto é, o conjunto de valores que f pode assumir).
    2. Chamar de \mathcal{C}_{n}(f) o conjunto de nível n de f e descrever analiticamente todos os possíveis conjuntos \mathcal{C}_{n}(f).
    3. Quando for possível, representar geometricamente esses conjuntos (descrever como são no plano).
Informações relevantes dadas no enunciado:
  • A expressão explícita de f é x^{2}+y^{2}.
  • Devemos tratar n como um número real qualquer e estudar os conjuntos \mathcal{C}_{n}(f)=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2: f(x,y)=n\}.

Passo 2

Definição e ideia para resolver: o que é um conjunto de nível e como vamos achar os possíveis n.
  • Por definição, o conjunto de nível n é
\mathcal{C}_{n}(f)=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid x^{2}+y^{2}=n\}.
  • Logo, para cada n precisamos resolver a equação \,x^{2}+y^{2}=n.
  • Antes de resolver, é útil conhecer o alcance (imagem) da função f. Isso diz quais valores n podem ser atingidos. Para isso use a propriedade básica de quadrados: para todo t\in\mathbb{R} tem-se t^{2}\ge 0. Assim x^{2}\ge 0 e y^{2}\ge 0, então a soma x^{2}+y^{2}\ge 0 para todo (x,y).
  • Conclusão imediata: f(x,y)\ge 0 para todo (x,y), ou seja, a imagem de f está contida em [0,\infty). Portanto qualquer n<0 não pode ser valor de f.

Passo 3

Caso n<0: provar que não existe ponto com esse nível.
  • Se n<0, a equação x^{2}+y^{2}=n não tem solução porque o lado esquerdo é \ge 0 e o direito é negativo.
  • Portanto, para n<0 o conjunto de nível é vazio:
\mathcal{C}_{n}(f)=\varnothing\quad\text{para todo }n<0.

Passo 4

Caso n=0: encontrar \mathcal{C}_{0}(f).
  • Se x^{2}+y^{2}=0 então como cada termo é não negativo, a soma só pode ser zero quando cada termo for zero. Logo x^{2}=0 e y^{2}=0, isto é x=0 e y=0.
  • Assim
\mathcal{C}_{0}(f)=\{(0,0)\},
ou seja, o conjunto de nível 0 é o ponto origem.

Passo 5

Caso n>0: descrição analítica de \mathcal{C}_{n}(f).
  • Para n>0 a equação é
x^{2}+y^{2}=n.
  • Isso é exatamente a equação cartesiana de um círculo centrado na origem com raio r tal que r^{2}=n. Portanto o raio é r=\sqrt{n} (a raiz quadrada positiva).
  • Em forma analítica:
\mathcal{C}_{n}(f)=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid x^{2}+y^{2}=n\}\quad\text{para }n>0.
  • Uma forma paramétrica muito útil (explicando as variáveis) é: tomar um parâmetro angular t\in[0,2\pi); então qualquer ponto do círculo pode ser escrito como
(x,y)=(\sqrt{n}\cos t,\;\sqrt{n}\sin t),
onde t é o ângulo polar medido a partir do eixo x e \sqrt{n} é o raio do círculo.

Passo 6

Propriedades geométricas e observações que ajudam na prova e na intuição.
  • Resumo geométrico:
    • Para n<0: \mathcal{C}_{n}(f)=\varnothing (nenhum ponto).
    • Para n=0: \mathcal{C}_{0}(f)=\{(0,0)\} (a origem).
    • Para n>0: \mathcal{C}_{n}(f) é o círculo centrado na origem de raio \sqrt{n}.
  • Observações úteis para a prova/visualização:
    • À medida que n cresce, o raio \sqrt{n} aumenta, então os conjuntos de nível são círculos concêntricos (mesmo centro, raios diferentes).
    • Cada \mathcal{C}_{n}(f) com n\ge 0 é fechado e limitado, logo compacto em \mathbb{R}^2; para n>0 é uma curva fechada unidimensional (homeomorfa a S^{1}).
    • Exemplo concreto: se n=4 então \mathcal{C}_{4}(f)=\{(x,y):x^{2}+y^{2}=4\} é o círculo de raio 2, que tem parametrização (2\cos t,2\sin t).

Passo 7

Como responder rapidamente numa prova (receita prática).
  • Primeiro passo rápido na prova: observar que x^{2}+y^{2}\ge 0 para todo (x,y). Conclui-se que os únicos candidatos são n\ge 0.
  • Depois separar os três casos:
    • n<0: resposta automática \varnothing.
    • n=0: colocar (0,0).
    • n>0: escrever x^{2}+y^{2}=n e identificar como círculo de raio \sqrt{n}; se pedirem, dar parametrização (\sqrt{n}\cos t,\sqrt{n}\sin t).

Resposta

n\in[0,\infty).\n
\mathcal{C}_{n}(f)=\varnothing para n<0;\quad \mathcal{C}_{0}(f)=\{(0,0)\};\quad \mathcal{C}_{n}(f)=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid x^{2}+y^{2}=n\}=\{(\sqrt{n}\cos t,\sqrt{n}\sin t)\mid t\in[0,2\pi)\} para n>0.\n
Geometricamente: \mathcal{C}_{0} é a origem; para n>0, \mathcal{C}_{n} é o círculo centrado na origem de raio \sqrt{n} (os círculos são concêntricos e crescem com n).

Exercícios relacionados