Em cada um dos exercícios chame de
o nível da função dada e encontre todos os possíveis valores de
. Chame de
o conjunto de nível
de
e descreva analiticamente todos os posssíveis conjuntos de nível
da função dada e ainda, se for possível, represente-os geometricamente.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que nos é dado.
- A função dada é
definida por
- Foi pedido:
- Chamar de
o nível da função e encontrar todos os possíveis valores de (isto é, o conjunto de valores que pode assumir). - Chamar de
o conjunto de nível de e descrever analiticamente todos os possíveis conjuntos . - Quando for possível, representar geometricamente esses conjuntos (descrever como são no plano).
- Chamar de
Informações relevantes dadas no enunciado:
- A expressão explícita de
é . - Devemos tratar
como um número real qualquer e estudar os conjuntos .
Passo 2
Definição e ideia para resolver: o que é um conjunto de nível e como vamos achar os possíveis
.
- Por definição, o conjunto de nível
é
- Logo, para cada
precisamos resolver a equação . - Antes de resolver, é útil conhecer o alcance (imagem) da função
. Isso diz quais valores podem ser atingidos. Para isso use a propriedade básica de quadrados: para todo tem-se . Assim e , então a soma para todo . - Conclusão imediata:
para todo , ou seja, a imagem de está contida em . Portanto qualquer não pode ser valor de .
Passo 3
Caso
: provar que não existe ponto com esse nível.
- Se
, a equação não tem solução porque o lado esquerdo é e o direito é negativo. - Portanto, para
o conjunto de nível é vazio:
Passo 4
Caso
: encontrar
.
- Se
então como cada termo é não negativo, a soma só pode ser zero quando cada termo for zero. Logo e , isto é e . - Assim
ou seja, o conjunto de nível
é o ponto origem.
Passo 5
Caso
: descrição analítica de
.
- Para
a equação é
- Isso é exatamente a equação cartesiana de um círculo centrado na origem com raio
tal que . Portanto o raio é (a raiz quadrada positiva). - Em forma analítica:
- Uma forma paramétrica muito útil (explicando as variáveis) é: tomar um parâmetro angular
; então qualquer ponto do círculo pode ser escrito como
onde
é o ângulo polar medido a partir do eixo
e
é o raio do círculo.
Passo 6
Propriedades geométricas e observações que ajudam na prova e na intuição.
- Resumo geométrico:
- Para
: (nenhum ponto). - Para
: (a origem). - Para
: é o círculo centrado na origem de raio .
- Para
- Observações úteis para a prova/visualização:
- À medida que
cresce, o raio aumenta, então os conjuntos de nível são círculos concêntricos (mesmo centro, raios diferentes). - Cada
com é fechado e limitado, logo compacto em ; para é uma curva fechada unidimensional (homeomorfa a ). - Exemplo concreto: se
então é o círculo de raio , que tem parametrização .
- À medida que
Passo 7
Como responder rapidamente numa prova (receita prática).
- Primeiro passo rápido na prova: observar que
para todo . Conclui-se que os únicos candidatos são . - Depois separar os três casos:
-
: resposta automática . -
: colocar . -
: escrever e identificar como círculo de raio ; se pedirem, dar parametrização .
-
Resposta
Geometricamente: