6-25 A reducing elbow is used to deflect water flow at a rate of 30 \mathrm{~kg} / \mathrm{s} in a horizontal pipe upward by an angle \theta =45^{\circ} from the flow direction while accelerating it. The elbow discharges water into the atmosphere. The crosssectional area of the elbow is 150 \mathrm{~cm}^{2} at the inlet and 25 \mathrm{~cm}^{2} at the exit. The elevation difference between the centers of the exit and the inlet is 40 cm . The mass of the elbow and the water in it is 50 kg . Determine the anchoring force needed to hold the elbow in place. Take the momentum-flux correction factor to be 1.03 .

Passo 1

O problema envolve um cotovelo por onde escoa água com vazão mássica \dot m=30\\ \mathrm{kg/s}, desviando o jato de 0^\circ para \theta=45^\circ e elevando-o em 0{,}40\\ \mathrm m. As áreas de seção são A_1=150\\ \mathrm{cm^2}=0{,}015\\ \mathrm m^2 na entrada e A_2=25\\ \mathrm{cm^2}=0{,}0025\\ \mathrm m^2 na saída. O cotovelo (mais a água nele contida) tem massa m=50\\ \mathrm{kg}. Pede-se a força de ancoragem (reação) necessária para manter o cotovelo estacionário.
Conteúdo: equilíbrio de momento linear (Teorema de Reynolds) num volume de controle. Vamos aplicar
\sum \vec F = \sum_{\text{saídas}} \int \rho\,\vec u\,(\vec u\!\cdot\!\vec n)\,dA \;-\;\sum_{\text{entradas}} \int \rho\,\vec u\,(\vec u\!\cdot\!\vec n)\,dA\;-\;\vec Wí
onde usamos fator de correção de momento-fluxo \alpha=1{,}03 e desprezamos forças de pressão (entrada e saída são atmosféricas).

Passo 2

Calculamos as velocidades médias na entrada e na saída usando
v = \frac{\dot m}{\rho\,A},\quad \rho=1000\\ \mathrm{kg/m^3}.
Então
v_1 = \frac{30}{1000\cdot0{,}015}=2{,}0\\ \mathrm{m/s}, \quad v_2 = \frac{30}{1000\cdot0{,}0025}=12\\ \mathrm{m/s}.

Passo 3

Avaliamo o termo de momento-fluxo com correção \alpha:
Entrada (direção x positiva para a direita)
M_{\rm in} = -\,\alpha\,\rho\,A_1\,v_1^2\;\hat\imath = -\,1{,}03\cdot1000\cdot0{,}015\cdot(2)^2\;\hat\imath = -\,61{,}8\;\hat\imath\\ \mathrm N.
Saída (sai num ângulo 45^\circ acima da horizontal)
M_{\rm out} = \alpha\,\rho\,A_2\,v_2^2\;(\cos45^\circ\,\hat\imath+\sin45^\circ\,\hat\jmath) = 370{,}8\;(\tfrac{\sqrt2}{2}\,\hat\imath+\tfrac{\sqrt2}{2}\,\hat\jmath) \approx 262{,}3\,\hat\imath +262{,}3\,\hat\jmath\\ \mathrm N.

Passo 4

O peso do cotovelo mais água é
\vec W = m\,g\,(-\hat\jmath) =50\cdot9{,}81\,(-\hat\jmath) =-490{,}5\;\hat\jmath\\ \mathrm N.
Não há forças de pressão resultantes (entrada e saída à pressão atmosférica).

Passo 5

Escrevemos a reação \vec R (força de ancoragem) tal que
\vec R = M_{\rm out} - M_{\rm in} - \vec W.
Substituindo componentes:
em x: R_x =262{,}3 -(-61{,}8) - 0 =324{,}1\\ \mathrm N.
em y: R_y =262{,}3 -0 -(-490{,}5)=262{,}3+490{,}5=752{,}8\\ \mathrm N.

Passo 6

Magnitude da reação:
R = \sqrt{R_x^2 + R_y^2} = \sqrt{(324{,}1)^2 + (752{,}8)^2} \approx 820\\ \mathrm N.

Resposta

A força de ancoragem necessária é de aproximadamente 820\\ \mathrm N.

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