P5.22 Calculate \Delta H and \Delta S if the temperature of 1.75 moles of \mathrm{Hg}(l) is increased from 0.00^{\circ} \mathrm{C} to 75.0^{\circ} \mathrm{C} at 1 bar. Over this temperature range, C_{P, m}\left(\mathrm{~J} \mathrm{~K}^{-1} \mathrm{~mol}^{-1}\right)= 30.093-4.944 \times 10^{-3} T / K.

Passo 1

O enunciado pede calcular \Delta H e \Delta S ao aquecer 1{,}75 mol de \mathrm{Hg(l)} de 0{,}00^\circ\mathrm{C} até 75{,}0^\circ\mathrm{C} à pressão de 1 bar. A capacidade calorífica molar dada é
C_{P,m}(T)=30{,}093-4{,}944\times10^{-3}\,T\quad\left(\mathrm{J\,K^{-1}\,mol^{-1}}\right).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Número de mols: n=1{,}75.
  • Temperaturas de início e fim (em graus Celsius): 0{,}00^\circ\mathrm{C} e 75{,}0^\circ\mathrm{C}.
  • Expressão de C_{P,m}(T) válida no intervalo considerado.
O que será calculado:
  • \Delta H do processo (variação de entalpia) para n mols.
  • \Delta S do processo (variação de entropia) para n mols.

Passo 2

Preparando o terreno: unidades e relações básicas que vamos usar.
  1. Conversão de temperaturas para Kelvin (necessária nas integrais envolvendo T):
\text{Temperatura absoluta: }T\;(\mathrm{K})=\theta(^{\circ}\mathrm{C})+273{,}15.
Assim:
T_1=0{,}00^\circ\mathrm{C}=273{,}15\\ \mathrm{K},\qquad T_2=75{,}0^\circ\mathrm{C}=348{,}15\\ \mathrm{K}.
  1. Fórmulas termodinâmicas para aquecimento a pressão constante:
  • A variação de entalpia por mol é dada por
\Delta H_m=\int_{T_1}^{T_2} C_{P,m}(T)\,dT,
onde \Delta H_m é por mol. Para n mols, \Delta H=n\,\Delta H_m.
  • A variação de entropia por mol é dada por
\Delta S_m=\int_{T_1}^{T_2} \frac{C_{P,m}(T)}{T}\,dT,
e para n mols \Delta S=n\,\Delta S_m.
Explicando as fórmulas de forma simples:
  • C_{P,m}(T) diz quanto de energia (J) é necessário para elevar 1 mol da substância em 1 K à pressão constante. Integrando C_{P,m} em T obtemos a energia total (entalpia) necessária para subir de T_1 a T_2.
  • Para entropia, a integração de C_P/T vem da definição termodinâmica diferencial dS=\frac{\delta q_{\mathrm{rev}}}{T}=\frac{C_P\,dT}{T} em processo reversível de aquecimento.

Passo 3

Fazer as integrais simbolicamente substituindo a forma dada de C_{P,m}(T).
Escrevendo
C_{P,m}(T)=a+bT,
onde a=30{,}093 (J K^{-1} mol^{-1}) e b=-4{,}944\times10^{-3} (J K^{-2} mol^{-1}).
Integral para \Delta H_m:
\Delta H_m=\int_{T_1}^{T_2} (a+bT)\,dT = a\,(T_2-T_1)+\frac{b}{2}\left(T_2^2-T_1^2\right).
Integral para \Delta S_m:
\Delta S_m=\int_{T_1}^{T_2}\left(\frac{a}{T}+b\right)\,dT = a\ln\!\left(\frac{T_2}{T_1}\right)+b\,(T_2-T_1).
Aqui cada símbolo significa:
  • a: termo constante da capacidade molar \left(\mathrm{J\,K^{-1}\,mol^{-1}}\right).
  • b: coeficiente linear em T do C_{P,m} \left(\mathrm{J\,K^{-2}\,mol^{-1}}\right).
  • T_1,T_2: temperaturas absoluta iniciais e finais em \mathrm{K}.
  • \ln é o logaritmo natural.

Passo 4

Avaliar numericamente as expressões. Primeiro calcule quantidades intermediárias simples.
Temperaturas:
T_1=273{,}15\\ \mathrm{K},\qquad T_2=348{,}15\\ \mathrm{K}.
Diferença:
\Delta T=T_2-T_1=75{,}00\\ \mathrm{K}.
Diferença de quadrados:
T_2^2-T_1^2=(T_2-T_1)(T_2+T_1)=75{,}00\times(348{,}15+273{,}15)=75{,}00\times621{,}30=46\,597{,}5\\ \mathrm{K^2}.
Valores de a e b:
a=30{,}093\quad\left(\mathrm{J\,K^{-1}\,mol^{-1}}\right),\qquad b=-4{,}944\times10^{-3}\quad\left(\mathrm{J\,K^{-2}\,mol^{-1}}\right).
Agora \Delta H_m:
\Delta H_m=a\Delta T+\frac{b}{2}\left(T_2^2-T_1^2\right) =30{,}093\times75{,}00+\frac{-4{,}944\times10^{-3}}{2}\times46\,597{,}5.
Calcule termo a termo:
30{,}093\times75{,}00=2\,256{,}975\\ \mathrm{J\,mol^{-1}}.
\frac{b}{2}\left(T_2^2-T_1^2\right)= -0{,}002472\times46\,597{,}5\approx -115{,}189\\ \mathrm{J\,mol^{-1}}.
Somando:
\Delta H_m\approx 2\,256{,}975-115{,}189=2\,141{,}786\\ \mathrm{J\,mol^{-1}}.
Agora \Delta S_m:
\Delta S_m=a\ln\!\left(\frac{T_2}{T_1}\right)+b\Delta T.
Compute a razão de temperaturas e seu logaritmo:
\frac{T_2}{T_1}=\frac{348{,}15}{273{,}15}\approx1{,}274624, \qquad \ln\!\left(\frac{T_2}{T_1}\right)\approx0{,}242405.
Então
a\ln\!\left(\frac{T_2}{T_1}\right)=30{,}093\times0{,}242405\approx7{,}29467\\ \mathrm{J\,K^{-1}\,mol^{-1}}.
E
b\Delta T=-4{,}944\times10^{-3}\times75{,}00=-0{,}3708\\ \mathrm{J\,K^{-1}\,mol^{-1}}.
Somando:
\Delta S_m\approx7{,}29467-0{,}3708=6{,}92387\\ \mathrm{J\,K^{-1}\,mol^{-1}}.

Passo 5

Passar dos valores por mol para o total de n=1{,}75 mols.
Para \Delta H:
\Delta H=n\,\Delta H_m=1{,}75\times2\,141{,}786\\ \mathrm{J\,mol^{-1}} \approx3\,748{,}13\\ \mathrm{J}.
Para \Delta S:
\Delta S=n\,\Delta S_m=1{,}75\times6{,}92387\\ \mathrm{J\,K^{-1}\,mol^{-1}} \approx12{,}1168\\ \mathrm{J\,K^{-1}}.
Arredondamento final: dados iniciais têm três algarismos significativos (por exemplo 1{,}75 mol, 75{,}0^\circ\mathrm{C}), então apresentamos os resultados com três algarismos significativos:
\Delta H\approx3{,}75\times10^{3}\\ \mathrm{J}=3{,}75\\ \mathrm{kJ}, \qquad \Delta S\approx12{,}1\\ \mathrm{J\,K^{-1}}.

Resposta

\Delta H=3{,}75\times10^{3}\\ \mathrm{J}=3{,}75\\ \mathrm{kJ}
\Delta S=12{,}1\\ \mathrm{J\,K^{-1}}

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