22.9 • Uma camada fina e uniforme de tinta carregada é espalhada sobre a superfície de uma esfera plástica com diâmetro de 12,0 \mathrm{~cm}, produzindo uma carga de -49,0 \mu \mathrm{C}. Determine o campo elétrico (a) dentro da camada de tinta; (b) fora da camada de tinta; (c) 5,00 cm fora da superfície da camada de tinta.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (peguei todos os números do enunciado).
  • Diâmetro da esfera: \,12{,}0\\ \mathrm{cm}.
  • Carga total depositada na camada de tinta: \,Q = -49{,}0\\ \mu\mathrm{C} = -49{,}0\times10^{-6}\\ \mathrm{C}.
  • A camada de tinta é “fina e uniforme” sobre a superfície da esfera (ou seja, toda a carga está distribuída na superfície esférica).
    As perguntas são:
    (a) Determine o campo elétrico dentro da camada de tinta (isto é, para pontos com raio r menor do que o raio da esfera).
    (b) Determine o campo elétrico fora da camada de tinta (expressão geral para r>R e, em particular, logo fora da superfície).
    (c) Calcule o campo elétrico a 5{,}00\\ \mathrm{cm} fora da superfície da camada de tinta (isto é, em r=R+5{,}00\\ \mathrm{cm}).

Passo 2

Conceito que vamos usar (explicação passo a passo).
  • Para distribuições com simetria esférica e carga só na superfície (camada fina), é natural aplicar a Lei de Gauss. A Lei de Gauss diz que o fluxo elétrico através de uma superfície fechada é igual à carga total contida dentro da superfície dividido por \varepsilon_{0}:
\Phi_E=\oint \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A}=\frac{Q_{\text{int}}}{\varepsilon_{0}}.
Aqui:
  • \mathbf{E} é o campo elétrico;
  • d\mathbf{A} é o elemento de área da superfície fechada (vetor orientado para fora);
  • Q_{\text{int}} é a carga total dentro da superfície;
  • \varepsilon_{0}=8{,}854\times10^{-12}\\ \mathrm{C^{2}/(N\cdot m^{2})} é a permissividade do vácuo.
  • Para uma superfície gaussiana esférica concêntrica de raio r, devido à simetria esférica, \mathbf{E} tem mesma magnitude em toda a superfície e é radial. Assim:
E(4\pi r^{2})=\frac{Q_{\text{int}}}{\varepsilon_{0}} \quad\Rightarrow\quad E=\frac{Q_{\text{int}}}{4\pi\varepsilon_{0} r^{2}}.
  • Outra forma equivalente (a que usaremos para números) é usar a constante k, com k=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}=8{,}988\times10^{9}\\ \mathrm{N\cdot m^{2}/C^{2}}. Então
E=\frac{k\,Q_{\text{int}}}{r^{2}}.
  • Observação importante sobre o sinal e direção: se Q_{\text{int}}>0, o campo é radial para fora; se Q_{\text{int}}<0, o campo é radial para dentro (apontando para o centro).

Passo 3

Determinar o raio da esfera (usando o diâmetro do enunciado).
  • Diâmetro dado: \,12{,}0\\ \mathrm{cm}. Logo o raio é metade:
R=\frac{12{,}0\\ \mathrm{cm}}{2}=6{,}00\\ \mathrm{cm}=0{,}0600\\ \mathrm{m}.

Passo 4

Resolver (a): campo elétrico dentro da camada de tinta (isto é para r<R).
  • Se escolhermos uma superfície gaussiana esférica de raio r com r<R (dentro da esfera e, portanto, dentro da região onde não há carga, pois a carga está apenas na superfície), a carga encerrada é
Q_{\text{int}}=0.
  • Aplicando a Lei de Gauss:
E=\frac{Q_{\text{int}}}{4\pi\varepsilon_{0} r^{2}}=\frac{0}{4\pi\varepsilon_{0} r^{2}}=0.
  • Interpretação: o campo elétrico em qualquer ponto dentro da superfície esférica carregada é nulo (mesmo se a esfera for feita de plástico não condutor): a camada fina na superfície não gera campo no interior.

Passo 5

Resolver (b): campo elétrico fora da camada de tinta (expressão geral e valor logo fora da superfície).
  • Para r>R a carga total encerrada pela superfície gaussiana é \,Q_{\text{int}}=Q=-49{,}0\times10^{-6}\\ \mathrm{C}.
  • Pela fórmula (usando k):
E(r)=\frac{k\,Q}{r^{2}}.
  • Logo fora da superfície (tomando r=R) obtemos:
E(R)=\frac{k\,Q}{R^{2}}.
  • Vamos calcular numericamente. Primeiro, o numerador:
k\,|Q|=(8{,}988\times10^{9})\cdot(49{,}0\times10^{-6}) =8{,}988\cdot49{,}0\times10^{9-6} =440{,}412\times10^{3} =4{,}40412\times10^{5}.
(Unidade: \mathrm{N\cdot m^{2}/C}.)
  • Agora R^{2}=(0{,}0600\\ \mathrm{m})^{2}=0{,}003600\\ \mathrm{m^{2}}.
  • Dividindo:
E(R)=\frac{4{,}40412\times10^{5}}{0{,}003600}=1{,}22337\times10^{8}\\ \mathrm{N/C}.
  • Arredondando para três algarismos significativos (compatível com Q):
E(R)\approx1{,}22\times10^{8}\\ \mathrm{N/C}.
  • Direção: como Q<0, o campo aponta radialmente para o centro da esfera (isto é, para dentro).

Passo 6

Resolver (c): campo elétrico a 5{,}00\\ \mathrm{cm} fora da superfície da camada de tinta.
  • A distância do centro até esse ponto é
r=R+5{,}00\\ \mathrm{cm}=6{,}00\\ \mathrm{cm}+5{,}00\\ \mathrm{cm}=11{,}00\\ \mathrm{cm}=0{,}110\\ \mathrm{m}.
  • Calcular r^{2}=(0{,}110\\ \mathrm{m})^{2}=0{,}01210\\ \mathrm{m^{2}}.
  • Usando a mesma constante numeradora calculada antes k|Q|=4{,}40412\times10^{5},
E(0{,}110)=\frac{4{,}40412\times10^{5}}{0{,}01210}=3{,}63909\times10^{7}\\ \mathrm{N/C}.
  • Arredondando para três algarismos significativos:
E(0{,}110)\approx3{,}64\times10^{7}\\ \mathrm{N/C}.
  • Direção: como Q<0, o campo aponta radialmente para o centro (para dentro).

Passo 7

Resumo e observações finais (motivação para a prova).
  • Em problemas com carga distribuída uniformemente numa camada fina sobre uma esfera, lembrar sempre: dentro da casca esférica o campo é zero; fora, o campo é igual ao de uma carga pontual Q concentrada no centro.
  • Quando pedirem “logo fora da superfície”, use r=R; quando pedirem “a x cm fora da superfície”, some x ao raio e use r=R+x.
  • Verifique sempre o sinal de Q para indicar a direção do campo (positivo -> para fora; negativo -> para dentro). Boa sorte na prova — está indo bem por pedir os passos!

Resposta

(a) \displaystyle E=0\\ \mathrm{N/C}
(b) \displaystyle E(R)=1{,}22\times10^{8}\\ \mathrm{N/C} (direção: radialmente para o centro)
(c) \displaystyle E(R+5{,}00\\ \mathrm{cm})=3{,}64\times10^{7}\\ \mathrm{N/C} (direção: radialmente para o centro)

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