22.9 • Uma camada fina e uniforme de tinta carregada é espalhada sobre a superfície de uma esfera plástica com diâmetro de
, produzindo uma carga de
. Determine o campo elétrico (a) dentro da camada de tinta; (b) fora da camada de tinta; (c) 5,00 cm fora da superfície da camada de tinta.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (peguei todos os números do enunciado).
- Diâmetro da esfera:
. - Carga total depositada na camada de tinta:
- A camada de tinta é “fina e uniforme” sobre a superfície da esfera (ou seja, toda a carga está distribuída na superfície esférica).
As perguntas são:
(a) Determine o campo elétrico dentro da camada de tinta (isto é, para pontos com raiomenor do que o raio da esfera).
(b) Determine o campo elétrico fora da camada de tinta (expressão geral parae, em particular, logo fora da superfície).
(c) Calcule o campo elétrico afora da superfície da camada de tinta (isto é, em ).
Passo 2
Conceito que vamos usar (explicação passo a passo).
- Para distribuições com simetria esférica e carga só na superfície (camada fina), é natural aplicar a Lei de Gauss. A Lei de Gauss diz que o fluxo elétrico através de uma superfície fechada é igual à carga total contida dentro da superfície dividido por
:
Aqui:
-
é o campo elétrico; -
é o elemento de área da superfície fechada (vetor orientado para fora); -
é a carga total dentro da superfície; -
é a permissividade do vácuo. - Para uma superfície gaussiana esférica concêntrica de raio
, devido à simetria esférica, tem mesma magnitude em toda a superfície e é radial. Assim:
- Outra forma equivalente (a que usaremos para números) é usar a constante
, com . Então
- Observação importante sobre o sinal e direção: se
, o campo é radial para fora; se , o campo é radial para dentro (apontando para o centro).
Passo 3
Determinar o raio da esfera (usando o diâmetro do enunciado).
- Diâmetro dado:
. Logo o raio é metade:
Passo 4
Resolver (a): campo elétrico dentro da camada de tinta (isto é para
).
- Se escolhermos uma superfície gaussiana esférica de raio
com (dentro da esfera e, portanto, dentro da região onde não há carga, pois a carga está apenas na superfície), a carga encerrada é
- Aplicando a Lei de Gauss:
- Interpretação: o campo elétrico em qualquer ponto dentro da superfície esférica carregada é nulo (mesmo se a esfera for feita de plástico não condutor): a camada fina na superfície não gera campo no interior.
Passo 5
Resolver (b): campo elétrico fora da camada de tinta (expressão geral e valor logo fora da superfície).
- Para
a carga total encerrada pela superfície gaussiana é - Pela fórmula (usando
):
- Logo fora da superfície (tomando
) obtemos:
- Vamos calcular numericamente. Primeiro, o numerador:
(Unidade:
.)
- Agora
. - Dividindo:
- Arredondando para três algarismos significativos (compatível com
):
- Direção: como
, o campo aponta radialmente para o centro da esfera (isto é, para dentro).
Passo 6
Resolver (c): campo elétrico a
fora da superfície da camada de tinta.
- A distância do centro até esse ponto é
- Calcular
- Usando a mesma constante numeradora calculada antes
,
- Arredondando para três algarismos significativos:
- Direção: como
, o campo aponta radialmente para o centro (para dentro).
Passo 7
Resumo e observações finais (motivação para a prova).
- Em problemas com carga distribuída uniformemente numa camada fina sobre uma esfera, lembrar sempre: dentro da casca esférica o campo é zero; fora, o campo é igual ao de uma carga pontual
concentrada no centro. - Quando pedirem “logo fora da superfície”, use
; quando pedirem “a x cm fora da superfície”, some ao raio e use . - Verifique sempre o sinal de
para indicar a direção do campo (positivo -> para fora; negativo -> para dentro). Boa sorte na prova — está indo bem por pedir os passos!
Resposta
(a)
(b)
(direção: radialmente para o centro)
(c)
(direção: radialmente para o centro)