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Considere o problema de valor inicial:
Determine:
a) a família a 1-parâmetro de soluções da equação
. Exiba uma solução singular para esta equação;
Considere o problema de valor inicial:
a) a família a 1-parâmetro de soluções da equação
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para resolver a equação diferencial
e encontrar uma família de soluções com um parâmetro e também uma solução singular. Vamos usar conhecimentos de equações diferenciais ordinárias, especificamente de equações separáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos isolar
na equação:
Aqui, reescrevemos a derivada
em termos de
e
.
Passo 3
Agora, percebemos que a equação é separável, o que significa que podemos separar as variáveis
e
em lados opostos da igualdade. Vamos fazer isso:
Dividimos ambos os lados por
e multiplicamos por
para separar.
Passo 4
Com as variáveis separadas, podemos integrar ambos os lados:
A integração nos ajudará a encontrar uma expressão para
em termos de
.
Passo 5
Vamos integrar cada lado:
Onde
e
são constantes de integração. Podemos combinar essas constantes em uma só
.
Passo 6
Igualando as integrações:
Resolvendo para
:
Podemos reescrever isso para facilitar:
Onde
é a constante que representa o parâmetro da família de soluções.
Passo 7
Agora, temos a família geral de soluções:
Essa é nossa solução com um parâmetro
. Para encontrar uma solução singular, buscamos uma solução que não esteja na família geral, geralmente encontrada como o envelope das soluções gerais.
Passo 8
Observando a família geral, vemos que se
, a equação original
também é satisfeita, pois
. Portanto,
é uma solução que não depende da constante
, caracterizando-a como solução singular.
Resposta
A família geral de soluções é dada por
onde
é um parâmetro arbitrário. Uma solução singular para a equação é