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Considere o problema de valor inicial:
y^2 + 2 x^3 y' = 0, y(x0) = y0
Determine:
a) a família a 1-parâmetro de soluções da equação y^2 + 2 x^3 y' = 0. Exiba uma solução singular para esta equação;

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para resolver a equação diferencial e encontrar uma família de soluções com um parâmetro e também uma solução singular. Vamos usar conhecimentos de equações diferenciais ordinárias, especificamente de equações separáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos isolar na equação:
Aqui, reescrevemos a derivada em termos de e .

Passo 3

Agora, percebemos que a equação é separável, o que significa que podemos separar as variáveis e em lados opostos da igualdade. Vamos fazer isso:
Dividimos ambos os lados por e multiplicamos por para separar.

Passo 4

Com as variáveis separadas, podemos integrar ambos os lados:
A integração nos ajudará a encontrar uma expressão para em termos de .

Passo 5

Vamos integrar cada lado:
Onde e são constantes de integração. Podemos combinar essas constantes em uma só .

Passo 6

Igualando as integrações:
Resolvendo para :
Podemos reescrever isso para facilitar:
Onde é a constante que representa o parâmetro da família de soluções.

Passo 7

Agora, temos a família geral de soluções:
Essa é nossa solução com um parâmetro . Para encontrar uma solução singular, buscamos uma solução que não esteja na família geral, geralmente encontrada como o envelope das soluções gerais.

Passo 8

Observando a família geral, vemos que se , a equação original também é satisfeita, pois . Portanto, é uma solução que não depende da constante , caracterizando-a como solução singular.

Resposta

A família geral de soluções é dada por
onde é um parâmetro arbitrário. Uma solução singular para a equação é

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