Determine as derivadas parciais de primeira ordem da função.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para determinar as derivadas parciais de primeira ordem da função
. Isso está dentro da matéria de Cálculo Diferencial, mais especificamente sobre derivadas parciais. Para resolver, vamos precisar saber como derivar funções com mais de uma variável, aplicando as regras de derivação.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma derivada parcial. Quando temos uma função de várias variáveis, como
, a derivada parcial em relação a uma das variáveis é a taxa de variação da função apenas nessa variável, mantendo as outras constantes. Ou seja, para
, tratamos
como uma constante, e vice-versa.
Passo 3
Vamos começar calculando a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
. A função é
. Podemos reescrever a raiz quadrada como uma potência:
Agora, aplicamos a regra da cadeia para derivar em relação a
.
Passo 4
Aplicando a regra da cadeia, a derivada de
em relação a
é:
Agora, precisamos derivar o interior
em relação a
.
Passo 5
Derivando
em relação a
:
Substituindo de volta na expressão da derivada:
Passo 6
Simplificando a expressão:
Podemos reescrever isso como:
Passo 7
Agora, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
. Usando o mesmo método:
Aplicando a regra da cadeia:
Passo 8
Derivando
em relação a
:
Substituindo de volta na expressão da derivada:
Passo 9
Simplificando a expressão:
Podemos reescrever isso como:
Resposta
As derivadas parciais de primeira ordem da função são:
e