Considere a equação
(5 x^2 y + 6 x^3 y^2 + 4 x y^2) dx + (2 x^3 + 3 x^4 y + 3 x^2 y) dy = 0
b) Multiplique a equação por x^n y^m e determine valores para n e m que tornam a equação resultante em exata

Passo 1

Então, vamos lá! O que a questão está pedindo é para a gente trabalhar com uma equação diferencial que já está dada. O conteúdo principal aqui é sobre equações diferenciais exatas. A nossa missão é multiplicar essa equação por e encontrar os valores de e que fazem com que a equação resultante seja exata. Para isso, vamos precisar entender o que significa uma equação ser exata e como identificar os valores de e que atendem a essa condição.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é uma equação diferencial exata. Uma equação da forma:
é dita exata se existir uma função tal que:
Isso significa que as derivadas parciais de em relação a e correspondem aos coeficientes e da equação.

Passo 3

Para verificar se a equação é exata, usamos a condição de exatidão:
Se essa igualdade for verdadeira, a equação é exata. Caso contrário, precisamos encontrar um fator integrante (no nosso caso, ) que, ao multiplicar a equação original, torne-a exata.

Passo 4

Vamos então aplicar o fator integrante à equação dada:
Multiplicando cada termo por , a equação fica:

Passo 5

Vamos simplificar os coeficientes multiplicados:
Para :
Para :

Passo 6

Agora, aplicamos a condição de exatidão:
Vamos calcular cada lado dessa igualdade.
Primeiro, a derivada parcial de em relação a :
Simplificando:
Agora, a derivada parcial de em relação a :
Simplificando:

Passo 7

Para que a equação seja exata, devemos ter:
Comparando os coeficientes dos termos semelhantes, obtemos um sistema de equações:
  1. Para os termos com :
  1. Para os termos com :
  1. Para os termos com :

Passo 8

Agora, vamos resolver esse sistema de equações para encontrar e .
Primeira equação:
Segunda equação:
Terceira equação:

Passo 9

Vamos resolver as equações (2) e (3) primeiro.
Da equação (2):
Substituindo na equação (3):
Agora, usando na equação :

Passo 10

Vamos conferir se esses valores satisfazem a primeira equação (1):

Resposta

Os valores que tornam a equação resultante exata são:

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