Considere a equação
b) Multiplique a equação por
e determine valores para
e
que tornam a equação resultante em exata
Passo 1
Então, vamos lá! O que a questão está pedindo é para a gente trabalhar com uma equação diferencial que já está dada. O conteúdo principal aqui é sobre equações diferenciais exatas. A nossa missão é multiplicar essa equação por
e encontrar os valores de
e
que fazem com que a equação resultante seja exata. Para isso, vamos precisar entender o que significa uma equação ser exata e como identificar os valores de
e
que atendem a essa condição.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é uma equação diferencial exata. Uma equação da forma:
é dita exata se existir uma função
tal que:
Isso significa que as derivadas parciais de
em relação a
e
correspondem aos coeficientes
e
da equação.
Passo 3
Para verificar se a equação é exata, usamos a condição de exatidão:
Se essa igualdade for verdadeira, a equação é exata. Caso contrário, precisamos encontrar um fator integrante (no nosso caso,
) que, ao multiplicar a equação original, torne-a exata.
Passo 4
Vamos então aplicar o fator integrante
à equação dada:
Multiplicando cada termo por
, a equação fica:
Passo 5
Vamos simplificar os coeficientes multiplicados:
Para
:
Para
:
Passo 6
Agora, aplicamos a condição de exatidão:
Vamos calcular cada lado dessa igualdade.
Primeiro, a derivada parcial de
em relação a
:
Simplificando:
Agora, a derivada parcial de
em relação a
:
Simplificando:
Passo 7
Para que a equação seja exata, devemos ter:
Comparando os coeficientes dos termos semelhantes, obtemos um sistema de equações:
- Para os termos com
:
- Para os termos com
:
- Para os termos com
:
Passo 8
Agora, vamos resolver esse sistema de equações para encontrar
e
.
Primeira equação:
Segunda equação:
Terceira equação:
Passo 9
Vamos resolver as equações (2) e (3) primeiro.
Da equação (2):
Substituindo
na equação (3):
Agora, usando
na equação
:
Passo 10
Vamos conferir se esses valores satisfazem a primeira equação (1):
Resposta
Os valores que tornam a equação resultante exata são: