Use a derivação implícita para encontrar
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente usar derivação implícita pra encontrar as derivadas parciais de
em relação a
e
. A equação que temos é:
Vamos precisar saber como aplicar a derivação implícita em equações com várias variáveis. Isso vai nos ajudar a achar como
muda quando
ou
mudam.
Passo 2
Primeiro, vamos organizar a equação pra deixar tudo em um lado. Subtraímos
de ambos os lados:
Agora, temos uma equação que relaciona
,
e
, e queremos descobrir como
depende de
e
.
Passo 3
A gente vai derivar essa equação em relação a
, tratando
como uma função de
e
. Lembre-se que quando derivamos
em relação a
, precisamos multiplicar pela derivada de
em relação a
, ou seja,
.
Derivando cada termo:
- Derivada de
em relação a : (porque é uma constante nesse caso) - Derivada de
em relação a : - Derivada de
em relação a :
Portanto, a derivada total fica:
Passo 4
Vamos agora resolver essa equação para
. Primeiro, juntamos os termos que têm
:
Fatorando
:
Agora, isolamos
:
Simplificando, podemos multiplicar numerador e denominador por -1:
Passo 5
Agora, vamos derivar a equação original em relação a
, seguindo o mesmo processo. Derivando cada termo:
- Derivada de
em relação a : - Derivada de
em relação a : - Derivada de
em relação a :
Então, a derivada total fica:
Passo 6
Vamos resolver para
. Juntando os termos com
:
Fatorando
:
Isolando
:
Ou, simplificando:
Resposta
As derivadas parciais são:
e