Use a derivação implícita para encontrar partial z / partial z e partial z / partial y.
x y+y z=x z

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente usar derivação implícita pra encontrar as derivadas parciais de x y + y z = x z em relação a e . A equação que temos é:
Vamos precisar saber como aplicar a derivação implícita em equações com várias variáveis. Isso vai nos ajudar a achar como muda quando ou mudam.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar a equação pra deixar tudo em um lado. Subtraímos x y + y z - x z = 0 de ambos os lados:
Agora, temos uma equação que relaciona , e , e queremos descobrir como depende de e .

Passo 3

A gente vai derivar essa equação em relação a y + y partial zpartial x - z - x partial zpartial x = 0 , tratando como uma função de e . Lembre-se que quando derivamos em relação a , precisamos multiplicar pela derivada de em relação a , ou seja, .
Derivando cada termo:
  • Derivada de em relação a : (porque é uma constante nesse caso)
  • Derivada de em relação a :
  • Derivada de em relação a :
Portanto, a derivada total fica:

Passo 4

Vamos agora resolver essa equação para y partial zpartial x - x partial zpartial x = z - y . Primeiro, juntamos os termos que têm partial zpartial x (y - x) = z - y :
partial zpartial x = z - yy - x
Fatorando partial zpartial x = y - zx - y :
Agora, isolamos :
Simplificando, podemos multiplicar numerador e denominador por -1:

Passo 5

Agora, vamos derivar a equação original em relação a x + z + y partial zpartial y - x partial zpartial y = 0 , seguindo o mesmo processo. Derivando cada termo:
  • Derivada de em relação a :
  • Derivada de em relação a :
  • Derivada de em relação a :
Então, a derivada total fica:

Passo 6

Vamos resolver para y partial zpartial y - x partial zpartial y = -x - z . Juntando os termos com partial zpartial y (y - x) = - (x + z) :
partial zpartial y = -(x + z)y - x
Fatorando partial zpartial y = x + zx - y :
Isolando :
Ou, simplificando:

Resposta

As derivadas parciais são:
partial zpartial x = y - zx - y
e
partial zpartial y = x + zx - y

Exercícios relacionados