22 Deseja-se uma força de arrasto de 10 lb para \mathrm{Re}=10^{5} sobre um cilindro de 6 ft de comprimento, em um escoamento de ar atmosférico a 60^{\circ} \mathrm{F}. Qual velocidade deveria ser escolhida e qual seria o diâmetro do cilindro?

Passo 1

O enunciado pede que a força de arrasto sobre um cilindro de comprimento L=6 ft seja F_D=10 lbf, quando o fluxo de ar a 60^\circF dá um número de Reynolds \mathrm{Re}=10^5. Precisamos achar a velocidade U e o diâmetro D do cilindro. Vamos usar:
1. A definição de Reynolds,
2. A fórmula de arrasto em escoamento externo para cilindro,
3. Propriedades do ar a 60^\circF.

Passo 2

A definição de Reynolds é
\mathrm{Re} = \frac{U\,D}{\nu}
onde \nu é a viscosidade cinemática do ar. Dessa expressão isolamos
U = \frac{\mathrm{Re}\,\nu}{D}.

Passo 3

A força de arrasto num corpo projetado de área A é
F_D = \tfrac12\,\rho\,U^2\,C_D\,A,
e, para um cilindro de comprimento L e diâmetro D, a área de projecção é
A = D\,L.
Logo
F_D = \tfrac12\,\rho\,U^2\,C_D\,(D\,L).

Passo 4

Substituindo U = \mathrm{Re}\,\nu/D em F_D
F_D = \tfrac12\,\rho\, \Bigl(\frac{\mathrm{Re}\,\nu}{D}\Bigr)^{\!2} C_D\,(D\,L) = \frac{\tfrac12\,\rho\,C_D\,L\,\mathrm{Re}^2\,\nu^2}{D}.
Isolando D obtemos
D = \frac{\tfrac12\,\rho\,C_D\,L\,\mathrm{Re}^2\,\nu^2}{F_D}.

Passo 5

Usamos propriedades do ar a 60^\circ\mathrm{F} e pressão atmosférica:
\rho = 0{,}00238,slug/ft ^3,
\nu = 1{,}57\times10^{-4},ft ^2/s.
Para cilindro em Re~ 10^5, toma-se C_D\approx1{,}2.
Substituindo em
D = \frac{0{,}5\cdot(0{,}00238)\cdot1{,}2\cdot6\cdot(10^5)^2\cdot(1{,}57\times10^{-4})^2}{10} \approx0{,}211\text{ ft}.

Passo 6

A velocidade é
U = \frac{\mathrm{Re}\,\nu}{D} = \frac{10^5\cdot1{,}57\times10^{-4}}{0{,}211} \approx74{,}4\text{ ft/s}.

Resposta

Velocidade U\approx74{,}4 ft/s
Diâmetro D\approx0{,}211 ft ( \approx 2,53 in)

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