• O desempenho de um mancal em torno de um eixo de rotação é função das seguintes variáveis, a vazão volumétrica de óleo lubrificante no rolamento, o diâmetro do mancal de rolamento, a velocidade do eixo em revoluções por minuto, a viscosidade do óleo lubrificante, a densidade do óleo lubrificante e a tensão superficial do óleo lubrificante. Sugira parâmetros apropriados para ser usados em correlações para este sistema.

Passo 1

O enunciado lista as variáveis que influenciam o desempenho do mancal:
– vazão volumétrica Q (dimensão [L^3T^{-1}]),
– diâmetro do mancal D (dimensão [L]),
– velocidade do eixo N em rpm (dimensão [T^{-1}]),
– viscosidade do óleo \mu (dimensão [M\,L^{-1}T^{-1}]),
– densidade do óleo \rho (dimensão [M\,L^{-3}]) e
– tensão superficial \sigma (dimensão [M\,T^{-2}]).
Vamos usar o método de Buckingham \pi para obter parâmetros adimensionais que sirvam de base para correlações de desempenho.

Passo 2

Identificamos o número de variáveis n=6 e as dimensões fundamentais envolvidas M,\;L,\;T com r=3. Assim teremos n-r=3 parâmetros adimensionais. Escolhemos como variáveis repetidas \rho,\;N,\;D, pois não são todas independentes em dimensão e envolvem as três dimensões fundamentais.

Passo 3

Construímos cada grupo \pi a partir de uma das variáveis não repetidas ( Q, \mu, \sigma) multiplicada pelas repetidas elevadas a expoentes que anulem as dimensões:
1. Para Q:
procuramos \pi_1=Q\,\rho^{a}\,N^{b}\,D^{c} com
\,[L^3T^{-1}]\,[M\,L^{-3}]^{a}\,[T^{-1}]^{b}\,[L]^{c}=[\,].
Daí obtemos a=0, b=-1, c=-3 e
\pi_1 = \frac{Q}{N\,D^3}\quad\text{(número de fluxo ou flow coefficient).}ú
2. Para \mu:
procuramos \pi_2=\mu\,\rho^{a}\,N^{b}\,D^{c} com
[M\,L^{-1}T^{-1}]\,[M\,L^{-3}]^{a}\,[T^{-1}]^{b}\,[L]^{c}=[\,].
Resolvendo vem a= -1, b=1, c=2, e invertendo o sinal achamos
\pi_2 = \frac{\rho\,N\,D^2}{\mu}\quad\text{(número de Reynolds, \(\mathrm{Re}\)).}ú
3. Para \sigma:
procuramos \pi_3=\sigma\,\rho^{a}\,N^{b}\,D^{c} com
[M\,T^{-2}]\,[M\,L^{-3}]^{a}\,[T^{-1}]^{b}\,[L]^{c}=[\,].
Resolvendo dá a=-1, b=2, c=3. Invertendo para definir Weber:
\pi_3 = \frac{\rho\,N^2\,D^3}{\sigma}\quad\text{(número de Weber, \(\mathrm{We}\)).}ú

Passo 4

Em vez de Weber, também é comum usar o número de Capilaridade (Capillary number)
\mathrm{Ca}=\frac{\mu\,N\,D}{\sigma},
mas, pelo Buckingham, podemos tomar \mathrm{We} como acima. Assim toda correlação de desempenho do tipo
\text{desempenho} = f(\pi_1,\pi_2,\pi_3)
fica escrita em função de
\dfrac{Q}{N\,D^3},\;\dfrac{\rho\,N\,D^2}{\mu},\;\dfrac{\rho\,N^2\,D^3}{\sigma}.

Resposta

Como parâmetros adimensionais apropriados para correlação sugiro
\pi_1 = \frac{Q}{N\,D^3},\qquad \pi_2 = \frac{\rho\,N\,D^2}{\mu}\;(\mathrm{Re}),\qquad \pi_3 = \frac{\rho\,N^2\,D^3}{\sigma}\;(\mathrm{We}).

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