Um mastro de bandeira é composto de três seções: uma seção superior de 5 cm de diâmetro e 10 m de comprimento, uma seção intermediária de 7,5 \mathrm{~cm} de diâmetro e 15 m de comprimento e uma seção inferior de 10 cm de diâmetro e 20 m de comprimento. Calcule a força total agindo sobre o mastro e o momento suportado pela base, quando ele estiver sujeito a ventos de 25 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. Efetue os cálculos para:
(a) Um dia de inverno a -30^{\circ} \mathrm{C}.

Passo 1

O enunciado descreve um mastro de três seções cilíndricas submetido a vento de 25\:\mathrm{m/s}. Precisamos calcular a força total de arrasto e o momento resultante na base. Para isso vamos usar:
– Densidade do ar via equação dos gases ideais;
– Pressão dinâmica \tfrac12\rho V^2;
– Coeficiente de arrasto C_d de um cilindro liso;
– Área projetada de cada seção cilíndrica A_i = d_i\,L_i;
– Força de arrasto em cada seção F_i = C_d\bigl(\tfrac12\rho V^2\bigr)A_i;
– Momento na base somando F_i vezes a distância do centro de pressão até a base.

Passo 2

Calcular a densidade do ar a -30^\circ\mathrm{C}. Considerando pressão atmosférica p_0=1,01325\times10^5\:\mathrm{Pa} e constante específica R=287\:\mathrm{J/(kg\cdot K)}, tem-se
T = -30^\circ\mathrm{C} = 243{,}15\:\mathrm K
\rho = \frac{p_0}{R\,T} = \frac{1{,}01325\times10^5}{287\cdot243{,}15} \approx1{,}45\:\mathrm{kg/m^3}.

Passo 3

Calcular a pressão dinâmica
q = \tfrac12\,\rho\,V^2 = \tfrac12\cdot1{,}45\cdot(25)^2 = 0{,}5\cdot1{,}45\cdot625 \approx453{,}75\:\mathrm{Pa}.

Passo 4

Adotar coeficiente de arrasto típico de cilindro liso
C_d = 1{,}2.
Assim a pressão de vento atuante por área é
p = C_d\,q =1{,}2\cdot453{,}75 \approx544{,}5\:\mathrm{Pa}.

Passo 5

Determinar a área projetada de cada seção (diâmetro d vezes comprimento L):
A_1 = 0{,}05\:\mathrm m\times10\:\mathrm m =0{,}50\:\mathrm{m^2},
A_2 = 0{,}075\:\mathrm m\times15\:\mathrm m=1{,}125\:\mathrm{m^2},
A_3 = 0{,}10\:\mathrm m\times20\:\mathrm m=2{,}00\:\mathrm{m^2}.

Passo 6

Calcular a força de arrasto em cada seção:
F_i = p\,A_i.
Logo
F_1 =544{,}5\cdot0{,}50\approx272{,}3\:\mathrm N,
F_2 =544{,}5\cdot1{,}125\approx612{,}6\:\mathrm N,
F_3 =544{,}5\cdot2{,}00\approx1089{,}0\:\mathrm N.

Passo 7

Força total de arrasto no mastro:
F_{\rm tot} = F_1 + F_2 + F_3 \approx272{,}3 +612{,}6 +1089{,}0 =1973{,}9\:\mathrm N.

Passo 8

Determinar a posição do centro de pressão de cada seção em relação à base (origem na base):
– Seção inferior ( L_3=20\:\mathrm m): centro a 10\:\mathrm m.
– Seção intermediária ( L_2=15\:\mathrm m): base da intermediária a 20\:\mathrm m, centro a 20+7{,}5 =27{,}5\:\mathrm m.
– Seção superior ( L_1=10\:\mathrm m): base da superior a 35\:\mathrm m, centro a 35+5=40\:\mathrm m.

Passo 9

Calcular o momento na base por somatório de F_i vezes suas alavancas x_i:
M = F_3\cdot10 + F_2\cdot27{,}5 + F_1\cdot40.
Substituindo:
M =1089{,}0\cdot10 +612{,}6\cdot27{,}5 +272{,}3\cdot40 \approx10890 +16845 +10890 =38625\:\mathrm{N\cdot m}.

Resposta

Força total de arrasto: F_{\rm tot}\approx1974\:\mathrm N
Momento na base: M\approx3{,}86\times10^4\:\mathrm{N\cdot m}

Exercícios relacionados