• A força de arrasto Fa sobre um cilindro de diâmetro d \quad e \quad comprimento L \quad deve ser estudada. Que forma funcional relaciona as variáveis adimensionais se um fluido com velocidade V escoa na direção normal à do cilindro?

Passo 1

O enunciado pede a forma funcional que relaciona a força de arrasto F_a sobre um cilindro (diâmetro d, comprimento L) com a velocidade V de um fluido. O conteúdo envolvido é análise dimensional pelo Teorema de Buckingham para obter grupos adimensionais.

Passo 2

Listamos as variáveis que influenciam F_a:
\displaystyle F_a (força de arrasto), \rho (densidade do fluido), \mu (viscosidade dinâmica do fluido), V (velocidade do fluido), d (diâmetro do cilindro) e L (comprimento do cilindro). Os módulos fundamentais são massa \mathrm{[M]}, comprimento \mathrm{[L]} e tempo \mathrm{[T]}. Temos então 6 variáveis e 3 dimensões fundamentais, portanto 6-3=3 grupos adimensionais.

Passo 3

Escolhemos como variáveis repetidas \rho, V e d. Com elas construímos os três \pi–grupos:

Passo 4

Determinação dos \pi–grupos:
\pi_1 envolvendo F_a:
\pi_1 = \frac{F_a}{\rho\,V^2\,d\,L}
\pi_2 envolvendo \mu:
\pi_2 = \frac{\mu}{\rho\,V\,d} \quad\Longleftrightarrow\quad \pi_2 = \frac1{\mathrm{Re}}
\pi_3 envolvendo L:
\pi_3 = \frac{L}{d}

Passo 5

Pelo Buckingham, a relação funcional é
\pi_1 \;=\;\Phi(\pi_2,\pi_3) \quad\Longrightarrow\quad \frac{F_a}{\rho\,V^2\,d\,L} =\Phi\Bigl(\tfrac{\mu}{\rho V d},\,\tfrac{L}{d}\Bigr)
ou, usando o número de Reynolds \mathrm{Re}=\rho V d/\mu,
\frac{F_a}{\rho\,V^2\,d\,L} =\Phi\bigl(\mathrm{Re},\,L/d\bigr).

Resposta

\displaystyle \frac{F_a}{\rho\,V^2\,d\,L}=\Phi\bigl(\mathrm{Re},\,L/d\bigr), onde \mathrm{Re}=\frac{\rho V d}{\mu}.

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