Um mastro de bandeira é composto de três seções: uma seção superior de 5 cm de diâmetro e 10 m de comprimento, uma seção intermediária de 7,5 \mathrm{~cm} de diâmetro e 15 m de comprimento e uma seção inferior de 10 cm de diâmetro e 20 m de comprimento. Calcule a força total agindo sobre o mastro e o momento suportado pela base, quando ele estiver sujeito a ventos de 25 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. Efetue os cálculos para:
(b) Um dia de verão a 35^{\circ} \mathrm{C}.

Passo 1

O enunciado dá um mastro de três seções cilíndricas, sujeitas a vento de 25\\ \mathrm{m/s} num dia de verão a 35^\circ\mathrm{C}. Precisamos calcular ( 1) a densidade do ar a 35^\circ\mathrm{C}, ( 2) a pressão dinâmica do vento, ( 3) a área projetada de cada seção, ( 4) a força total exercida pelo vento e ( 5) o momento resultante na base do mastro. Vamos usar a fórmula da pressão dinâmica
q = \tfrac12\,\rho\,v^2
e a força em cada seção
F_i = C_d\,q\,A_i
com coeficiente de arrasto C_d=1{,}2 (valor típico para cilindros).

Passo 2

Calcular a densidade do ar \rho a 35^\circ\mathrm{C}. Adotando pressão atmosférica p=1{,}01325\times10^5\\ \mathrm{Pa} e constante do ar R=287\\ \mathrm{J/(kg\cdotK)}, e temperatura absoluta T=35+273{,}15=308{,}15\\ \mathrm{K},
\rho = \frac{p}{R\,T} = \frac{1{,}01325\times10^5}{287\cdot308{,}15} \approx1{,}15\\ \mathrm{kg/m^3}.

Passo 3

Calcular a pressão dinâmica
q = \tfrac12\,\rho\,v^2 = \tfrac12\cdot1{,}15\cdot(25)^2 \approx358{,}5\\ \mathrm{Pa}.

Passo 4

Determinar a área projetada A_i=d_i\,L_i de cada seção (diâmetro d, comprimento L):
– Seção 1 (superior): d_1=0{,}05\\ \mathrm{m}, L_1=10\\ \mathrm{m} \Rightarrow
A_1 = 0{,}05\cdot10 = 0{,}50\\ \mathrm{m^2}.
– Seção 2 (intermediária): d_2=0{,}075\\ \mathrm{m}, L_2=15\\ \mathrm{m} \Rightarrow
A_2 = 0{,}075\cdot15 = 1{,}125\\ \mathrm{m^2}.
– Seção 3 (inferior): d_3=0{,}10\\ \mathrm{m}, L_3=20\\ \mathrm{m} \Rightarrow
A_3 = 0{,}10\cdot20 = 2{,}00\\ \mathrm{m^2}.
Somando, A_{\text{tot}}=A_1+A_2+A_3=3{,}625\\ \mathrm{m^2}.

Passo 5

Calcular a força total
F_{\text{tot}} = C_d\,q\,A_{\text{tot}} =1{,}2\cdot358{,}5\cdot3{,}625 \approx1{,}56\times10^3\\ \mathrm{N}.

Passo 6

Calcular o momento na base. Cada força age em seu centróide a uma distância x_i da base:
– Seção 3: x_3=L_3/2=10\\ \mathrm{m}
– Seção 2: x_2=L_3+L_2/2=20+7{,}5=27{,}5\\ \mathrm{m}
– Seção 1: x_1=L_3+L_2+L_1/2=20+15+5=40\\ \mathrm{m}
O momento é
M_0 = C_d\,q\sum_{i=1}^3A_i\,x_i =1{,}2\cdot358{,}5\bigl(2\cdot10 + 1{,}125\cdot27{,}5 + 0{,}5\cdot40\bigr) \approx3{,}05\times10^4\\ \mathrm{N\cdotm}.

Resposta

Força total F_{\text{tot}}\approx1{,}56\times10^3\\ \mathrm{N}
Momento na base M_0\approx3{,}05\times10^4\\ \mathrm{N\cdotm}

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