Um nave está perto da órbita de um planeta na posição
. Sabendo que a temperatura da blindagem da nave em cada ponto é dada por
graus, determine a direção que a nave deve tomar para perder temperatura o mais rapidamente possível.
Passo 1
A questão diz que a nave está em (1,1,1) e que a temperatura é dada por T(x,y,z)=e{-(x2+3y2+2z2)}. Vamos usar derivadas parciais e gradiente para achar a direção de maior decaimento de T.
Passo 2
Para funções de várias variáveis, o gradiente ∇T aponta para a direção de máxima variação crescente de T, e o vetor -∇T indica a direção de máxima variação decrescente. Logo, a direção em que a nave perde temperatura mais rapidamente é -∇T no ponto.
Escrevendo T(x,y,z)=e^{-f(x,y,z)} com f(x,y,z)=x2+3y2+2z^2, temos ∇f(x,y,z)=(2x,6y,4z). Aplicando a regra da cadeia,
Escrevendo T(x,y,z)=e^{-f(x,y,z)} com f(x,y,z)=x2+3y2+2z^2, temos ∇f(x,y,z)=(2x,6y,4z). Aplicando a regra da cadeia,
Passo 3
Avaliando em (1,1,1) obtemos
Passo 4
Portanto a direção de maior decaimento é
Passo 5
Desprezando o fator escalar comum e normalizando, um vetor unitário na direção desejada é