Um nave está perto da órbita de um planeta na posição (1,1,1). Sabendo que a temperatura da blindagem da nave em cada ponto é dada por T(x, y, z)=e^-(x^2+3 y^2+2 z^2) graus, determine a direção que a nave deve tomar para perder temperatura o mais rapidamente possível.

Passo 1

A questão diz que a nave está em (1,1,1) e que a temperatura é dada por T(x,y,z)=e{-(x2+3y2+2z2)}. Vamos usar derivadas parciais e gradiente para achar a direção de maior decaimento de T.

Passo 2

Para funções de várias variáveis, o gradiente ∇T aponta para a direção de máxima variação crescente de T, e o vetor -∇T indica a direção de máxima variação decrescente. Logo, a direção em que a nave perde temperatura mais rapidamente é -∇T no ponto.
Escrevendo T(x,y,z)=e^{-f(x,y,z)} com f(x,y,z)=x2+3y2+2z^2, temos ∇f(x,y,z)=(2x,6y,4z). Aplicando a regra da cadeia,
nabla T(x,y,z)=T(x,y,z)cdot(-nabla f(x,y,z))=l(-2x e^-(x^2+3y^2+2z^2),,-6y e^-(x^2+3y^2+2z^2),,-4z e^-(x^2+3y^2+2z^2)r)

Passo 3

Avaliando em (1,1,1) obtemos
nabla T(1,1,1)=(-2e^-6,,-6e^-6,,-4e^-6)

Passo 4

Portanto a direção de maior decaimento é
-nabla T(1,1,1)=(2e^-6,,6e^-6,,4e^-6)

Passo 5

Desprezando o fator escalar comum e normalizando, um vetor unitário na direção desejada é
l(1raiz14,,3raiz14,,2raiz14r)

Resposta

l(tfrac1raiz14,,tfrac3raiz14,,tfrac2raiz14r)

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