22 Determine os números reais x e y tais que:
(1-i) \cdot x+(2+i) \cdot y=5+4 i

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os reais x e y que satisfazem a equação de números complexos
(1 - i)\,x \;+\;(2 + i)\,y \;=\;5 + 4\,i.
Vamos usar a ideia de que dois números complexos são iguais se, e somente se, suas partes reais e imaginárias são iguais.

Passo 2

Expandindo o lado esquerdo e agrupando as partes real e imaginária, temos
(1 - i)\,x + (2 + i)\,y = x - i\,x + 2\,y + i\,y = (x + 2\,y) + i\,(y - x).

Passo 3

Igualando as partes real e imaginária ao lado direito 5 + 4\,i, obtemos o sistema
\begin{cases} x + 2\,y = 5,\\\ y - x = 4. \end{cases}

Passo 4

Da segunda equação vem y = x + 4. Substituindo na primeira:
x + 2\,(x+4) = 5 \quad\Longrightarrow\quad x + 2x + 8 = 5 \quad\Longrightarrow\quad 3x = -3 \quad\Longrightarrow\quad x = -1.
Logo y = x + 4 = -1 + 4 = 3.

Resposta

x = -1 e y = 3.

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