Em cada um dos Problemas 18 a 21 , encontre um fator integrante e resolva a equação dada.
y^{\prime}=e^{2 x}+y-1

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
y' = e^{2x} + y - 1
que é uma equação linear de primeira ordem. Para resolver, vamos usar o método do fator integrante. Primeiro, colocamos em forma padrão
y' - y = e^{2x} - 1.

Passo 2

Na forma y' + P(x)\,y = Q(x) identificamos
P(x) = -1, \quad Q(x) = e^{2x} - 1.

Passo 3

O fator integrante é
\mu(x) = e^{\int P(x)\,dx} = e^{\int (-1)\,dx} = e^{-x}.

Passo 4

Multiplicamos a equação padrão por \mu(x)=e^{-x}:
e^{-x}y' - e^{-x}y = e^{-x}\bigl(e^{2x}-1\bigr) = e^x - e^{-x}.
O lado esquerdo é a derivada de e^{-x}y, ou seja,
\frac{d}{dx}\bigl(e^{-x}y\bigr) = e^x - e^{-x}.

Passo 5

Integramos ambos os lados em relação a x:
e^{-x}y = \int\bigl(e^x - e^{-x}\bigr)\,dx = e^x + e^{-x} + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 6

Isolando y, obtemos
y = e^x\bigl(e^x + e^{-x} + C\bigr) = e^{2x} + 1 + C\,e^x.

Resposta

y(x) = e^{2x} + C\,e^x + 1,
com C\in\mathbb{R}.

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