23 Determine x e y reais de modo que:
(x+y i) \cdot(3-2 i)=4+5 i

Passo 1

O enunciado pede para achar os reais x e y tais que o número complexo
(x + yi)
multiplicado por
(3 - 2i)
seja igual a
4 + 5i.
O conteúdo principal aqui é multiplicação de números complexos e a técnica de igualar parte real e parte imaginária.

Passo 2

Vamos multiplicar (x + yi) por (3 - 2i). Usando a propriedade distributiva e lembrando que i^2 = -1, temos
(x + yi)(3 - 2i) = x\cdot3 + x\cdot(-2i) + yi\cdot3 + yi\cdot(-2i).
Agrupando termos,
= 3x - 2x\,i + 3y\,i - 2y\,i^2 = 3x - 2x\,i + 3y\,i - 2y(-1).
Como -2y(-1)=2y, isso vira
= (3x + 2y) + i\,(3y - 2x).

Passo 3

Queremos que
(3x + 2y) + i\,(3y - 2x) = 4 + 5i.
Igualando parte real com parte real e parte imaginária com parte imaginária, obtemos o sistema
\begin{cases} 3x + 2y = 4,\\\\ 3y - 2x = 5. \end{cases}

Passo 4

Para resolver \displaystyle \begin{cases}3x + 2y = 4,\\\ 3y - 2x = 5,\end{cases}
podemos, por exemplo, isolar x na segunda equação:
3y - 2x = 5 \quad\Longrightarrow\quad -2x = 5 - 3y \quad\Longrightarrow\quad x = \frac{3y - 5}{2}.
Substituindo em 3x + 2y = 4:
3\Bigl(\frac{3y - 5}{2}\Bigr) + 2y = 4 \quad\Longrightarrow\quad \frac{9y - 15}{2} + 2y = 4 \quad\Longrightarrow\quad 9y - 15 + 4y = 8 \quad\Longrightarrow\quad 13y = 23 \quad\Longrightarrow\quad y = \frac{23}{13}.
Então
x = \frac{3\bigl(\tfrac{23}{13}\bigr) - 5}{2} = \frac{\tfrac{69}{13} - \tfrac{65}{13}}{2} = \frac{\tfrac{4}{13}}{2} = \frac{2}{13}.

Resposta

x = \tfrac{2}{13},\quad y = \tfrac{23}{13}.

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