Determine o domínio das funções vetoriais.
\mathbf{r}(t)=\left(\ln t, \frac{t}{t-1}, e^{-t}\right)

Passo 1

O enunciado pede o domínio da função vetorial \mathbf{r}(t)=\bigl(\ln t,\;\frac{t}{t-1},\;e^{-t}\bigr).
Para isso, vamos achar o domínio de cada componente e depois tomar a interseção dos três domínios.

Passo 2

A primeira componente é \ln t. O logaritmo natural exige t>0.
Portanto o domínio de \ln t é
(0,\infty).

Passo 3

A segunda componente é \frac{t}{t-1}. Uma fração só é inválida quando o denominador é zero, isto é, t-1=0\Rightarrow t=1.
Logo o domínio de \tfrac{t}{t-1} é
\mathbb{R}\setminus\{1\}.

Passo 4

A terceira componente é e^{-t}. A exponencial está bem definida para todo t\in\mathbb{R}.
Portanto o domínio de e^{-t} é \mathbb{R}.

Passo 5

O domínio de \mathbf{r}(t) é a interseção dos três domínios:
(0,\infty)\;\cap\;\bigl(\mathbb{R}\setminus\{1\}\bigr)\;\cap\;\mathbb{R} =(0,\infty)\setminus\{1\} =(0,1)\cup(1,\infty).

Resposta

O domínio de \mathbf{r}(t) é (0,1)\cup(1,\infty).

Exercícios relacionados