Calcule os limites:
\lim _{t \rightarrow 0^{+}}(\cos t, \sin t, t \ln t)

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite da função vetorial \displaystyle \lim_{t\to0^{+}}\bigl(\cos t,\;\sin t,\;t\ln t\bigr).
O conteúdo envolve limites de funções contínuas e de uma indeterminação do tipo 0\cdot(-\infty).

Passo 2

Como \cos t e \sin t são contínuas em t=0, podemos usar continuidade para as duas primeiras componentes:
\lim_{t\to0^{+}}\cos t = \cos 0 = 1,
\lim_{t\to0^{+}}\sin t = \sin 0 = 0.

Passo 3

Para a terceira componente temos
\lim_{t\to0^{+}}t\ln t
que é da forma indeterminada 0\cdot(-\infty). Reescrevemos como quociente:
\lim_{t\to0^{+}}t\ln t = \lim_{t\to0^{+}}\frac{\ln t}{1/t}.
Aplicando a regra de l’Hôpital (derivando numerador e denominador), obtemos
a derivada de \ln t igual a 1/t e de 1/t igual a -1/t^2. Logo,
\lim_{t\to0^{+}}\frac{\ln t}{1/t} = \lim_{t\to0^{+}}\frac{1/t}{-1/t^2} = \lim_{t\to0^{+}}(-t) = 0.

Resposta

(1,0,0)

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