Determine os intervalos de convergencia das séries de potèncias a seguir:
Passo 1
O enunciado pede o intervalo de convergência da série de potências
Isso é um power–series centrado em
. Para resolver vamos usar o teste da razão para achar o raio de convergência e depois testar os extremos.
Passo 2
Seja
Aplicando o teste da razão, consideramos
Passo 3
O teste da razão diz que a série converge se
e diverge se
. Logo o raio de convergência é
Isto dá o intervalo aberto
. Para decidir sobre
e
precisamos testar separadamente.
Passo 4
Em
temos
que é a série harmônica (diverge).
Em temos
Em
que converge condicionalmente pelo critério da série alternada de Leibniz.
Resposta
O intervalo de convergência é