Determine os intervalos de convergencia das séries de potèncias a seguir:
\begin{aligned} & \text { b) } \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(x-2)^{n}}{3 n} \end{aligned}

Passo 1

O enunciado pede o intervalo de convergência da série de potências
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(x-2)^{n}}{3\,n}\,.
Isso é um power–series centrado em x_{0}=2. Para resolver vamos usar o teste da razão para achar o raio de convergência e depois testar os extremos.

Passo 2

Seja
u_{n}=\frac{(x-2)^{n}}{3\,n}\,.
Aplicando o teste da razão, consideramos
L =\lim_{n\to\infty}\Bigl|\frac{u_{n+1}}{u_{n}}\Bigr| =\lim_{n\to\infty} \left|\frac{(x-2)^{n+1}}{3\,(n+1)}\;\frac{3\,n}{(x-2)^{n}}\right| =\lim_{n\to\infty}\Bigl|x-2\Bigr|\frac{n}{n+1} =\bigl|x-2\bigr|.

Passo 3

O teste da razão diz que a série converge se L<1 e diverge se L>1. Logo o raio de convergência é
R=1 \qquad\Longrightarrow\qquad |x-2|<1.
Isto dá o intervalo aberto (1,3). Para decidir sobre x=1 e x=3 precisamos testar separadamente.

Passo 4

Em x=3 temos
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(3-2)^{n}}{3\,n} =\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{3\,n} =\frac{1}{3}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n},
que é a série harmônica (diverge).
Em x=1 temos
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(1-2)^{n}}{3\,n} =\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{3\,n} =\frac{1}{3}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{n},
que converge condicionalmente pelo critério da série alternada de Leibniz.

Resposta

O intervalo de convergência é
[\,1,\,3).

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