22 Seja n um número natural maior que 1. A notação R^n indica o seguinte conjunto
R^n=(a1, a2, a3, ldots, an mid a1, a2, a3, ldots, an in R
a) Prove que R^n é um grupo comutativo, quando munido da adição definida assim:
(a1, a2, ldots, an)+(b1, b2, ldots, bn)=(a1+b1, a2+b2+ldots, an+bn).
b) verifique quais dos subconjuntos de R^n abaixo são subgrupos deste grupo:
H1=(a1, a2, ldots, an) in R^n mid a1+a2+ldots+an=0
H2=(a1, a2, ldots, an) in R^n mid a1 in Z

Passo 1

O enunciado define o conjunto
R^n = (a1,a2,dots,an) mid aiinR
e a operação
(a1,dots,an) + (b1,dots,bn) = (a1+b1,dots,an+bn),
Em (a) precisamos mostrar que esse par l(R^n,+r) satisfaz os axiomas de grupo comutativo. Em (b) verificar, usando teste de subgrupo, quais dos conjuntos
H1=,xinR^nmid x1+dots+xn=0 e H2=,xinR^nmid x1inZ
são subgrupos.

Passo 2

(Prova de grupo) Fechamento: se
x=(a1,dots,an), y=(b1,dots,bn)
têm ai,biinR, então
x+y=(a1+b1,dots,an+bn)
também está em R^n, pois soma de reais é real.

Passo 3

Associatividade: para quaisquer x,y,zinR^n,
(x+y)+z = l((ai+bi)+cir)i = l(ai+(bi+ci)r)i = x+(y+z),
usando associatividade em R coordenada a coordenada.

Passo 4

Elemento neutro: o vetor
0=(0,0,dots,0)
satisfaz x+0 = x e 0+x = x para todo x, pois ai+0= ai.

Passo 5

Inverso: dado
x=(a1,dots,an),
o vetor
-,x = (-a1,dots,-an)
é tal que x + (-x) = 0, pois ai+(-ai)=0.

Passo 6

Comutatividade: para quaisquer x,y,
x+y = (ai+bi)i = (bi+ai)i = y+x,
pela comutatividade em R. Logo l(R^n,+r) é grupo abeliano.

Passo 7

(Teste de subgrupo) Um subconjunto Hsubseteq G é subgrupo se ,Hneqemptyset, fechado em + e fechado em inversos.
Para H1:
  1. 0in H1 pois 0+dots+0=0.
  2. Se x,yin H1 então sum xi=0 e sum yi=0, logo
sum (x+y)i = sum xi + sum yi = 0+0 =0,
portanto x+yin H1.
3. Se sum xi=0 então sum(-xi)=-sum xi=0, logo -xin H1.
Assim H1 é subgrupo.

Passo 8

Para H2:
  1. 0in H2 pois 0inZ.
  2. Se x,yin H2 então x1,y1inZ e
(x+y)1 = x1+y1inZ,
logo x+yin H2.
3. Se x1inZ então (-x)1=-x1inZ, logo -xin H2.
Assim H2 é subgrupo.

Resposta

Tanto H1 quanto H2 são subgrupos de R^n.

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