22 Seja
um número natural maior que 1. A notação
indica o seguinte conjunto
a) Prove que
é um grupo comutativo, quando munido da adição definida assim:
.
b) verifique quais dos subconjuntos de
abaixo são subgrupos deste grupo:
a) Prove que
b) verifique quais dos subconjuntos de
Passo 1
O enunciado define o conjunto
e a operação
e a operação
Em (a) precisamos mostrar que esse par
satisfaz os axiomas de grupo comutativo. Em (b) verificar, usando teste de subgrupo, quais dos conjuntos
são subgrupos.
Passo 2
(Prova de grupo) Fechamento: se
têm
, então
também está em
, pois soma de reais é real.
Passo 3
Associatividade: para quaisquer
,
usando associatividade em
coordenada a coordenada.
Passo 4
Elemento neutro: o vetor
satisfaz
e
para todo
, pois
.
Passo 5
Inverso: dado
o vetor
é tal que
, pois
.
Passo 6
Comutatividade: para quaisquer
,
pela comutatividade em
. Logo
é grupo abeliano.
Passo 7
(Teste de subgrupo) Um subconjunto
é subgrupo se
, fechado em
e fechado em inversos.
Para :
Para
-
pois . - Se
então e , logo
portanto
.
3. Se então
, logo
.
Assim é subgrupo.
3. Se
Assim
Passo 8
Para
:
-
pois . - Se
então e
logo
.
3. Se então
, logo
.
Assim é subgrupo.
3. Se
Assim
Resposta
Tanto
quanto
são subgrupos de
.