Questão 3.1) Encontre a solução geral da edo dada, ou se for o caso, resolva o pvi dado:
y^prime x^4=3 x^3[sec (y)]^-1

Passo 1

O enunciado apresenta a equação diferencial de primeira ordem
y'(x),x^4=3,x^3,[sec(y)]^-1
Não há condição inicial, logo vamos encontrar a solução geral. O método a usar é o de EDO separável.

Passo 2

Isolamos y' e reorganizamos para obter evidência de variáveis separáveis:
y'=dydx Longrightarrow dydx;x^4 =3,x^3sec^-1(y)
Dividindo ambos os lados por x^4 e multiplicando por sec(y) obtemos
sec(y),dydx =3,x^3x^4 = 3x

Passo 3

Agora separamos as variáveis y e x em lados opostos:
sec(y),dy = 3x,dx

Passo 4

Integramos cada lado:
integral sec(y),dy =integral 3x,dx
Sabemos que
integral sec(y),dy =lnl|sec(y)+tan(y)r| + C1, integral 3x,dx =3ln|x| + C2
Igualando e absorvendo constantes, escrevemos
lnl|sec(y)+tan(y)r| =3ln|x|+C,
onde C=C2-C1.

Passo 5

Eliminamos o logaritmo exponenciando:
l|sec(y)+tan(y)r| = e^C,|x|^3
Chamando K=e^C (constante arbitrária não nula), e removendo valor absoluto, a solução implícita geral fica
sec(y)+tan(y)=K,x^3

Resposta

boxedsec(y)+tan(y)=K,x^3,
onde K é constante de integração.

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