Questão 3.1) Encontre a solução geral da edo dada, ou se for o caso, resolva o pvi dado:
y^prime=-(1+x) y /(1-y) x, com y(1)=2

Passo 1

Esse exercício é um problema de EDO de variáveis separáveis: temos a equação
y'= -(1+x),y(1-y),x
e a condição inicial y(1)=2. Para resolver a gente vai separar variáveis, integrar e depois usar o PVI para achar a constante de integração.

Passo 2

Reescrevendo y'=tfracdydx e separando variáveis, obtemos
dydx= -(1+x),yx,(1-y)
Logo,
1-yy,dy = -1+xx,dx
Essa manipulação usa a ideia de que podemos colocar todos os termos em y de um lado e em x do outro.

Passo 3

Agora a gente integra os dois lados. Pela teoria de integrais,
integrall(1y-1r),dy = -integrall(1x+1r),dx + C
Isso dá
ln|y| - y = -ln|x| - x + C

Passo 4

Para determinar a constante C, usamos y(1)=2. Substituindo x=1 e y=2 em
ln|y| - y = -ln|x| - x + C
ficamos com
ln2 - 2 = -0 - 1 + C
Portanto
C = ln2 -1

Passo 5

Substituindo C de volta e reorganizando a expressão, podemos escrever a solução de forma implícita. Uma forma elegante é exponentiar ambos os lados de
ln|y| - y = -ln|x| - x + (ln2 -1)
e chegar a
x,y,e^,x - y = 2e

Resposta

A solução particular do PVI é dada implicitamente por x,y,e^x - y = 2e

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