Questão 3.1) Encontre a solução geral da edo dada, ou se for o caso, resolva o pvi dado:
, com
Passo 1
Esse exercício é um problema de EDO de variáveis separáveis: temos a equação
e a condição inicial
. Para resolver a gente vai separar variáveis, integrar e depois usar o PVI para achar a constante de integração.
Passo 2
Reescrevendo
e separando variáveis, obtemos
Logo,
Essa manipulação usa a ideia de que podemos colocar todos os termos em
de um lado e em
do outro.
Passo 3
Agora a gente integra os dois lados. Pela teoria de integrais,
Isso dá
Passo 4
Para determinar a constante
, usamos
. Substituindo
e
em
ficamos com
Portanto
Passo 5
Substituindo
de volta e reorganizando a expressão, podemos escrever a solução de forma implícita. Uma forma elegante é exponentiar ambos os lados de
e chegar a
Resposta
A solução particular do PVI é dada implicitamente por