Considere a função
h(x)=ll x, & x >= 3 x^23, & x<3
Determine h+^prime(3) e h-^prime(3).

Passo 1

A função dada é
h(x)=x,&x>=3[6pt]x^23,&x<3
O conteúdo aqui é derivadas laterais (direita e esquerda) de uma função por partes. Para resolver, vamos usar a definição de derivada como limite do quociente incremental em torno de x=3, vindo pela direita e pela esquerda.]

Passo 2

Para a derivada pela direita em x=3 usamos a expressão de h(x)=x (válida para x>=3) e h(3)=3. Então:
h+'(3)=limxto3^+h(x)-h(3)x-3 = limxto3^+x-3x-3 = 1

Passo 3

Para a derivada pela esquerda em x=3 usamos a expressão de h(x)=tfracx^23 (válida para x<3) e h(3)=3. Calculamos o limite:
h-'(3)=limxto3^-x^23-3x-3 = limxto3^-x^2-93(x-3) = limxto3^-(x-3)(x+3)3(x-3) = limxto3^-x+33 = 63 = 2

Resposta

h+'(3)=1, h-'(3)=2.

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