Prove que
é um subgrupo de
. O conjunto
é um subgrupo de
? Justifique.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que
é subgrupo de e avaliar se
é subgrupo de . Para isso vamos usar as definições de subgrupo: em
basta verificar que
contém o neutro, é fechado em soma e em inversos aditivos; em
(considerando o neutro
e invertibilidade) devemos ver fechamento na multiplicação e existência de inversos multiplicativos fora de
.
é subgrupo de
é subgrupo de
Passo 2
Verificamos o neutro aditivo e a clausura na soma. O neutro de
é
, cujos coeficientes estão em
, logo
. Dados
e
em
, com
, a soma é
Como soma de racionais é racional, temos
e
, logo
.
Passo 3
Verificamos os inversos aditivos. Para
, seu inverso em
é
e como
, então
. Com neutro, clausura e inversos aditivos validados, concluímos que
é subgrupo de
.
Passo 4
Agora analisamos
em
. O neutro multiplicativo é
. Dadas
e
não nulas, seu produto é
e como produtos e somas de racionais são racionais,
.
Passo 5
Falta mostrar que todo
tem inverso em
. Usamos a fórmula
Como
e
, as frações são racionais. Logo
.