Prove que Q[i]=a+b i mid a, b in Q é um subgrupo de (C,+). O conjunto Q[i]-0 é um subgrupo de (C, cdot) ? Justifique.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que
Q[i]=a+bimid a,binQ
é subgrupo de (C,+) e avaliar se
Q[i]setminus0
é subgrupo de (C,cdot). Para isso vamos usar as definições de subgrupo: em (C,+) basta verificar que Q[i] contém o neutro, é fechado em soma e em inversos aditivos; em (C,cdot) (considerando o neutro 1 e invertibilidade) devemos ver fechamento na multiplicação e existência de inversos multiplicativos fora de 0.

Passo 2

Verificamos o neutro aditivo e a clausura na soma. O neutro de (C,+) é 0+0i, cujos coeficientes estão em Q, logo 0inQ[i]. Dados
alpha=a+bi e beta=c+di em Q[i], com a,b,c,dinQ, a soma é
alpha+beta=(a+c)+(b+d)i
Como soma de racionais é racional, temos a+cinQ e b+dinQ, logo alpha+betainQ[i].

Passo 3

Verificamos os inversos aditivos. Para alpha=a+bi, seu inverso em (C,+) é
-alpha=(-a)+(-b)i,
e como -a,,-binQ, então -alphainQ[i]. Com neutro, clausura e inversos aditivos validados, concluímos que Q[i] é subgrupo de (C,+).

Passo 4

Agora analisamos Q[i]setminus0 em (C,cdot). O neutro multiplicativo é 1+0iinQ[i]setminus0. Dadas alpha=a+bi e beta=c+di não nulas, seu produto é
alphabeta=(ac-bd)+(ad+bc)i,
e como produtos e somas de racionais são racionais, alphabetainQ[i]setminus0.

Passo 5

Falta mostrar que todo alpha=a+bineq0 tem inverso em Q[i]. Usamos a fórmula
alpha^-1=a-bia^2+b^2 =gl(aa^2+b^2gr) +gl(-ba^2+b^2gr)i
Como a,binQ e a^2+b^2inQsetminus0, as frações são racionais. Logo alpha^-1inQ[i]setminus0.

Resposta

Q[i] é subgrupo de (C,+).
Q[i]setminus0 é subgrupo de (C,cdot).

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