[22] Sejam f(x)=12[a^x+a^-x] e g(x)=12[a^x-a^-x], a>0, a neq 1. Verifique que:
a) f(x+y)=f(x) f(y)+g(x) g(y)
b) g(x+y)=f(x) g(y)+f(y) g(x)
c) Analise o caso a=e.

Passo 1

O enunciado introduz as funções
f(x)=12l[a^x+a^-xr], g(x)=12l[a^x-a^-xr], a>0, aneq1
O conteúdo aqui é usar propriedades de potências, em especial
a^x+y=a^x,a^y, a^-(x+y)=a^-x,a^-y,
para verificar as fórmulas de adição de “cosseno” e “seno” hiperbólicos.

Passo 2

Para (a) calculamos diretamente
f(x+y) =12l[a^x+y+a^-(x+y)r] =12l[a^x a^y + a^-xa^-yr]
Por outro lado,
f(x),f(y)+g(x),g(y) =14l[a^x+a^-xr]l[a^y+a^-yr] +14l[a^x-a^-xr]l[a^y-a^-yr]
Expandindo cada produto e somando, os termos cruzados cancelam e sobra
14l[2a^x a^y +2a^-xa^-yr] =12l[a^x a^y + a^-xa^-yr] =f(x+y)

Passo 3

Para (b) fazemos cálculo análogo:
g(x+y) =12l[a^x+y-a^-(x+y)r] =12l[a^x a^y - a^-xa^-yr]
E
f(x),g(y)+f(y),g(x) =14l[a^x+a^-xr]l[a^y-a^-yr] +14l[a^y+a^-yr]l[a^x-a^-xr]
Ao expandir, os termos simétricos somam-se de forma que o resultado é
12l[a^x a^y - a^-xa^-yr] =g(x+y)

Passo 4

No caso a=e, definimos
cosh x = e^x+e^-x2, sinh x = e^x-e^-x2
Logo f(x)=cosh x e g(x)=sinh x. As identidades
cosh(x+y)=cosh x,cosh y+sinh x,sinh y, sinh(x+y)=sinh x,cosh y+cosh x,sinh y
são exatamente os casos acima, confirmando que f e g coincidem com as funções hiperbólicas usuais.

Resposta

As fórmulas de adição foram verificadas e, para a=e, f(x)=cosh x e g(x)=sinh x, recuperando as identidades padrão das funções hiperbólicas.

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