Verifique se cada série converge ou diverge
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n .3^{n}}

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a série de termos positivos
sumn=1^infty1ncdot 3^n
converge ou diverge. Vamos usar o Teste da Razão para séries de termos positivos, que diz que se
L = limntoinftyan+1an
existe e satisfaz L<1, então a série sum an converge absolutamente.

Passo 2

Defina
an = 1ncdot 3^n
Então
an+1an = 1(n+1),3^,n+11n,3^n = nn+1,13
Agora tomamos o limite quando ntoinfty.

Passo 3

Calculando o limite:
L = limntoinftynn+1,13 = 13,limntoinftynn+1 = 13cdot 1 = 13
Como L=tfrac13<1, o Teste da Razão garante que a série converge absolutamente.

Passo 4

Para curiosidade, essa série é também um caso especial da expansão
sumn=1^inftyx^nn = -lnl(1-xr), |x|<1
Aqui x=tfrac13, de modo que
sumn=1^infty1ncdot 3^n =sumn=1^inftyl(tfrac13r)^nn =-ln!l(1-tfrac13r) =ln!l(tfrac32r)

Resposta

A série converge (absolutamente).

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