B) Mostre que lim n infty(1+xn)^n=e^x, para todo x .

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para todo real x, vale
limntoinftyl(1+xnr)^n=e^x
O conteúdo usado será o cálculo de limites envolvendo logaritmo e a definição de e^x via exponenciação da base e. Vamos usar a continuidade da função exponencial e o limite clássico
limuto0ln(1+u)u=1

Passo 2

Definimos a sequência
an=l(1+xnr)^n
Para encontrar limntoinftyan, é útil estudar o logaritmo natural:
ln an=n,ln!l(1+xnr)

Passo 3

No limite, o termo xn tende a 0. Podemos usar
limuto0ln(1+u)u=1
com u=xn. Logo, existe uma sequência varepsilonnto0 tal que
ln!l(1+xnr)=xn,(1+varepsilonn)
Multiplicando por n, obtemos
ln an =n;xn,(1+varepsilonn) =x,(1+varepsilonn)
Como varepsilonnto0, segue
limntoinftyln an =limntoinftyx,(1+varepsilonn) =x

Passo 4

A função exponencial é contínua, então podemos “deslogaritmar”:
limntoinftyan =limntoinftye^ln an =e^limntoinftyln an =e^x

Resposta

limntoinftyl(1+xnr)^n=e^x

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