B) Mostre que
, para todo x .
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, para todo real
, vale
O conteúdo usado será o cálculo de limites envolvendo logaritmo e a definição de
via exponenciação da base
. Vamos usar a continuidade da função exponencial e o limite clássico
Passo 2
Definimos a sequência
Para encontrar
, é útil estudar o logaritmo natural:
Passo 3
No limite, o termo
tende a
. Podemos usar
com
. Logo, existe uma sequência
tal que
Multiplicando por
, obtemos
Como
, segue
Passo 4
A função exponencial é contínua, então podemos “deslogaritmar”: