Dada a função , calcule os limites abaixo: undersetx 3^-L=lim x f(x)
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente tem uma função definida de duas maneiras diferentes:
Para qualquer valor de x diferente de 3, a função é f(x) = x^2 + 3xx - 3 .
Quando x = 3 , a função vale 1.
A pergunta quer que a gente calcule o limite de f(x) quando x se aproxima de 3 pela esquerda (ou seja, valores menores que 3). Para resolver isso, vamos precisar entender como simplificar a função e analisar o comportamento dela perto de x = 3 .
Passo 2
Primeiro, vamos olhar a expressão da função para x neq 3 :
f(x) = x^2 + 3xx - 3
Para facilitar, vamos tentar simplificar o numerador. Podemos fatorar x^2 + 3x :
x^2 + 3x = x(x + 3)
Então, a função fica:
f(x) = x(x + 3)x - 3
Agora, tentamos ver se conseguimos simplificar mais, mas não há um fator comum que possamos cancelar com o denominador x - 3 .
Passo 3
Agora, vamos analisar o comportamento da função quando x se aproxima de 3 pela esquerda, ou seja, valores de x um pouquinho menores que 3, como 2,9; 2,99; 2,999; etc.
Vamos calcular os limites do numerador e do denominador separadamente:
Numerador: x(x + 3) quando x se aproxima de 3:
3 times (3 + 3) = 3 times 6 = 18
Denominador: x - 3 quando x se aproxima de 3 pela esquerda:
3 - 3 = 0
Mas, como estamos vindo da esquerda, x é um pouco menor que 3, então x - 3 vai ser um número negativo bem pequeno, próximo de zero.
Passo 4
Então, juntando tudo:
f(x) = 18número negativo próximo de 0 úó
Quando dividimos um número positivo por um número negativo que se aproxima de zero, o resultado tende a -infty .