22.5 Uma superfície hemisférica com raio r em uma regiato de campo elétrico uniforme E, possui eixo alinhado paralelamente ao sentido do campo. Calcule o fluxo através dessa superfície.

Passo 1

O enunciado pede o fluxo elétrico através da superfície hemisférica de raio r imersa em um campo uniforme vec E cujo eixo está paralelo ao sentido de vec E. Vamos usar a definição de fluxo Phi=integralSvec Ecdot dvec A e coordenadas esféricas para resolver.

Passo 2

Alinhamos o eixo z da hemisfera com a direção de vec E. Em cada ponto da superfície, o ângulo entre vec E e o vetor área dvec A é theta, onde theta varia de 0 (no vértice) até pi/2 (na borda).

Passo 3

O elemento de área na casca esférica é dA=r^2sintheta,dtheta,dphi e o produto escalar é vec Ecdot dvec A=Ecostheta,dA.

Passo 4

O fluxo fica então:

Passo 5

Passo 6

\Phi=\int_{\varphi=0}{2\pi}\int_{\theta=0}{\pi/2}E\cos\theta,(r^2\sin\theta,d\theta,d\varphi)

Passo 7

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Passo 8

Separamos as integrais:

Passo 9

Passo 10

\Phi=E,r2\Bigl(\int_{0}{2\pi}d\varphi\Bigr)\Bigl(\int_{0}^{\pi/2}\cos\theta\sin\theta,d\theta\Bigr)

Passo 11

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Passo 12

Calculamos cada parte:

Passo 13

Passo 14

\int_{0}^{2\pi}d\varphi=2\pi,\quad

Passo 15

\int_{0}^{\pi/2}\cos\theta\sin\theta,d\theta=\tfrac12

Passo 16

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Passo 17

Logo:

Passo 18

Passo 19

\Phi=E,r2,(2\pi),\tfrac12=E,\pi,r2

Passo 20

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Resposta

Phi=E,pi,r^2

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