22.5 Uma superfície hemisférica com raio
em uma regiato de campo elétrico uniforme
, possui eixo alinhado paralelamente ao sentido do campo. Calcule o fluxo através dessa superfície.
Passo 1
O enunciado pede o fluxo elétrico através da superfície hemisférica de raio
imersa em um campo uniforme
cujo eixo está paralelo ao sentido de
. Vamos usar a definição de fluxo
e coordenadas esféricas para resolver.
Passo 2
Alinhamos o eixo
da hemisfera com a direção de
. Em cada ponto da superfície, o ângulo entre
e o vetor área
é
, onde
varia de
(no vértice) até
(na borda).
Passo 3
O elemento de área na casca esférica é
e o produto escalar é
.
Passo 4
O fluxo fica então:
Passo 5
Passo 6
\Phi=\int_{\varphi=0}{2\pi}\int_{\theta=0}{\pi/2}E\cos\theta,(r^2\sin\theta,d\theta,d\varphi)
Passo 7
]
Passo 8
Separamos as integrais:
Passo 9
Passo 10
\Phi=E,r2\Bigl(\int_{0}{2\pi}d\varphi\Bigr)\Bigl(\int_{0}^{\pi/2}\cos\theta\sin\theta,d\theta\Bigr)
Passo 11
]
Passo 12
Calculamos cada parte:
Passo 13
Passo 14
\int_{0}^{2\pi}d\varphi=2\pi,\quad
Passo 15
\int_{0}^{\pi/2}\cos\theta\sin\theta,d\theta=\tfrac12
Passo 16
]
Passo 17
Logo:
Passo 18
Passo 19
\Phi=E,r2,(2\pi),\tfrac12=E,\pi,r2
Passo 20
]