Um cilindro não-condutor com comprimento infinito e raio
tem densidade volumétrica de carga não-uniforme
. (a) Mostre que a carga por unidade de comprimento do cilindro é
. (b) Determine as expressões para o campo elétrico devido a esse cilindro carregado. Você deve obter uma expressão para o campo elétrico na região
e uma segunda expressão para o campo na região
.
Passo 1
O enunciado trata de um cilindro não condutor, de comprimento infinito e raio
, cuja densidade volumétrica de carga varia com o raio segundo
Pedem (a) a carga por unidade de comprimento
do cilindro e (b) o campo elétrico
nas regiões interna (
) e externa (
).
Para isso vamos usar simetria cilíndrica e a Lei de Gauss:
Para isso vamos usar simetria cilíndrica e a Lei de Gauss:
Passo 2
Calcular
integrando
sobre a seção transversal de raio
. Tomando um elemento de volume em coord. cilíndricas de altura unitária (
), temos
Logo a carga por unidade de comprimento é
Passo 3
Determinar
para
.
. Escolhemos uma superfície gaussiana cilíndrica de raio
(com
) e comprimento
.
. A parte lateral contribui com
pois por simetria
é radial e constante nessa superfície.
. A carga interna é
com direção radial para fora.
Passo 4
Determinar
para
.
. Agora a carga interna à superfície gaussiana de raio
é toda a do cilindro de raio
:
também radial e apontando para fora.
Resposta
(a)
(b)
(b)
sempre no sentido radial para fora.]