Um cilindro não-condutor com comprimento infinito e raio R tem densidade volumétrica de carga não-uniforme rho(r)=a r. (a) Mostre que a carga por unidade de comprimento do cilindro é lambda=2 pi a R^3 / 3. (b) Determine as expressões para o campo elétrico devido a esse cilindro carregado. Você deve obter uma expressão para o campo elétrico na região r<R e uma segunda expressão para o campo na região r>R.

Passo 1

O enunciado trata de um cilindro não condutor, de comprimento infinito e raio R, cuja densidade volumétrica de carga varia com o raio segundo
rho(r)=a,r
Pedem (a) a carga por unidade de comprimento lambda do cilindro e (b) o campo elétrico E(r) nas regiões interna ( r<R) e externa ( r>R).
Para isso vamos usar simetria cilíndrica e a Lei de Gauss:
oint SEcdot dA=Qrm intvarepsilon0

Passo 2

Calcular lambda integrando rho sobre a seção transversal de raio R. Tomando um elemento de volume em coord. cilíndricas de altura unitária ( L=1), temos
dQ=rho(r),dV =l(a,rr),(2pi r,drcdot 1) =2pi a,r^2,dr
Logo a carga por unidade de comprimento é
lambda =integral0^R2pi a,r^2,dr =2pi a[r^33]0^R =2pi a,R^33

Passo 3

Determinar E(r) para r<R.
1. Escolhemos uma superfície gaussiana cilíndrica de raio r (com r<R) e comprimento L.
2. A parte lateral contribui com
oint E,dA =E(r)cdot(2pi r,L),
pois por simetria E é radial e constante nessa superfície.
3. A carga interna é
Qrm int =integral0^r2pi a,r'^2,dr';L =2pi aL;r^33
4. Pela Lei de Gauss,
E(r),(2pi r,L) =2pi aLvarepsilon0,r^33 Longrightarrow E(r) =a3varepsilon0,r^2,
com direção radial para fora.

Passo 4

Determinar E(r) para r>R.
1. Agora a carga interna à superfície gaussiana de raio r é toda a do cilindro de raio R:
Qrm int =lambda,L =2pi a,R^33,L
2. Aplicando Gauss:
E(r),(2pi r,L) =1varepsilon0,2pi a,R^33,L Longrightarrow E(r) =a,R^33varepsilon0,1r,
também radial e apontando para fora.

Resposta

(a) lambda=2pi a,R^33
(b)
E(r)= a3varepsilon0,r^2,,&r<R,[6pt] a,R^33varepsilon0,1r,,&r>R,
sempre no sentido radial para fora.]

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