22.5. t y^prime+2 y=(sen t) / t, y(-pi / 2)=a, t<0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear de primeira ordem
t,y'(t) + 2,y(t) = sin tt,
para t<0, com condição inicial y(-pi/2)=a. Vamos usar o método do fator integrante.

Passo 2

Primeiro colocamos a equação na forma padrão y' + P(t)y = Q(t). Dividindo por t (válido pois t<0neq0),
y' + 2t,y = sin tt^2

Passo 3

O fator integrante é
mu(t) = expl(integral 2t,dtr) = expl(2ln|t|r) = t^2,
onde usamos |t|=-t mas ao elevar ao quadrado t^2 independe do sinal.

Passo 4

Multiplicando a forma padrão por mu(t)=t^2, obtemos
t^2,y' + 2t,y = sin t,
que reconhecemos como
ddtl(t^2,yr) = sin t
Integrando ambos os lados,
t^2,y = integral sin t,dt = -cos t + C

Passo 5

Isolando y,
y(t) = -cos t + Ct^2

Passo 6

Usamos a condição inicial y(-pi/2)=a. Substituindo t=-pi/2,
a = -cos(-pi/2) + C(-pi/2)^2
Como cos(-pi/2)=0 e (-pi/2)^2=pi^2/4, segue
a = Cpi^2/4 Longrightarrow C = a,pi^24

Resposta

y(t) = -cos t + a,pi^24t^2

Exercícios relacionados