Pergunta 40,25 pts
Determine a solução do Problema de Valor Inicial (PVI) y^prime prime(x)+2 y^prime(x)+y(x)=0, y(0)=1 e y^prime(0)=0.
e^x+x e^x
e^-x-x e^-x
Nenhuma das outras alternativas.
e^x-x e^x
e^-x+x e^-x
square

Passo 1

O enunciado pede a solução do problema de valor inicial
y''(x)+2,y'(x)+y(x)=0, y(0)=1, y'(0)=0
O conteúdo aqui é a resolução de equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, vamos: (1) achar a equação característica, (2) obter a solução geral considerando raízes repetidas, e (3) aplicar as condições iniciais para determinar as constantes.

Passo 2

Formamos a equação característica associada à equação diferencial substituindo ymapsto e^r x:
r^2 + 2r + 1 = 0
Resolvendo, reconhecemos um trinômio quadrado perfeito:
r^2 + 2r + 1 = (r+1)^2 = 0 Longrightarrow r = -1 (raiz dupla)

Passo 3

Para raiz dupla r=-1, a teoria das EDOs de ordem 2 diz que a solução geral é
y(x) = l(C1 + C2,xr)e^-x,
onde C1 e C2 são constantes a determinar pelas condições iniciais.

Passo 4

Aplicamos y(0)=1:
y(0)=l(C1 + C2cdot0r)e^0=C1=1
Agora calculamos y'(x). Derivando
y'(x) =ddxl[(C1+C2x)e^-xr] =l(C2 - (C1 + C2x)r)e^-x =l(C2-1 - C2xr)e^-x
Em x=0, a condição y'(0)=0
y'(0)=(C2-1)e^0=C2-1=0 Longrightarrow C2=1

Passo 5

Substituindo C1=1 e C2=1 na solução geral, obtemos
y(x)=(1 + x)e^-x =e^-x + x,e^-x
Isso coincide com a alternativa
e^-x+x e^-x

Resposta

e^-x+x e^-x

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