Pergunta 40,25 pts
Determine a solução do Problema de Valor Inicial (PVI)
,
e
.
Nenhuma das outras alternativas.
Determine a solução do Problema de Valor Inicial (PVI)
Passo 1
O enunciado pede a solução do problema de valor inicial
O conteúdo aqui é a resolução de equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, vamos: (1) achar a equação característica, (2) obter a solução geral considerando raízes repetidas, e (3) aplicar as condições iniciais para determinar as constantes.
Passo 2
Formamos a equação característica associada à equação diferencial substituindo
:
Resolvendo, reconhecemos um trinômio quadrado perfeito:
Passo 3
Para raiz dupla
, a teoria das EDOs de ordem 2 diz que a solução geral é
onde
e
são constantes a determinar pelas condições iniciais.
Passo 4
Aplicamos
:
Agora calculamos
. Derivando
Em
, a condição
dá
Passo 5
Substituindo
e
na solução geral, obtemos
Isso coincide com a alternativa