1.24 Mostre que A=[ccc1 & 0 & 2 2 & -1 & 3 4 & 1 & 8] e B=[ccc-11 & 2 & 2 -4 & 0 & 1 6 & -1 & 1] são inversas. Use o fato de que A B=I, podemos concluir que B A=I. Por isso A e B são inversas.

Passo 1

O que queremos é verificar se as matrizes
A= 1 & 0 & 2 2 & -1 & 3 4 & 1 & 8 e B= -11 & 2 & 2 -4 & 0 & 1 6 & -1 & 1
são inversas. Para isso basta checar se
AB = I3
Em matrizes quadradas, se AB=I então já se segue que BA=I, e assim B=A^-1.

Passo 2

Vamos calcular o produto ,AB via definição de multiplicação de matrizes. O elemento (i,j) de AB é
(AB)ij=sumk=1^3Aik,Bkj
Fazendo cada entrada:
– Linha 1 com coluna 1:
1cdot(-11)+0cdot(-4)+2cdot6=-11+0+12=1
– Linha 1 com coluna 2:
1cdot2+0cdot0+2cdot(-1)=2+0-2=0
– Linha 1 com coluna 3:
1cdot2+0cdot1+2cdot1=2+0+2=4
– Linha 2 com coluna 1:
2cdot(-11)+(-1)cdot(-4)+3cdot6=-22+4+18=0
– Linha 2 com coluna 2:
2cdot2+(-1)cdot0+3cdot(-1)=4+0-3=1
– Linha 2 com coluna 3:
2cdot2+(-1)cdot1+3cdot1=4-1+3=6
– Linha 3 com coluna 1:
4cdot(-11)+1cdot(-4)+8cdot6=-44-4+48=0
– Linha 3 com coluna 2:
4cdot2+1cdot0+8cdot(-1)=8+0-8=0
– Linha 3 com coluna 3:
4cdot2+1cdot1+8cdot1=8+1+8=17
Portanto
AB= 1 & 0 & 4 0 & 1 & 6 0 & 0 &17 ,
que claramente não é a identidade I3.

Passo 3

Como o produto AB não é I3, concluímos que não vale AB=I e, portanto, B não é inversa de A.
Isso indica que há um erro de digitação nos dados do enunciado, pois com essas entradas não se obtém AB=I.

Resposta

Com os valores fornecidos, calcula-se
AB= 1 & 0 & 4 0 & 1 & 6 0 & 0 &17 neq I3,
logo A e B não são inversas. Sugere-se revisar o enunciado para corrigir os valores.

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