\mathrm{C}_{\mathrm{Pb}}=120 \mathrm{~J} /\left(\mathrm{kg}^{\circ} \mathrm{C}\right) é o calor específico do chumbo.
\mathrm{L}_{\mathrm{f}}=28.800 \mathrm{~J} / \mathrm{kg} é o calor de fusão do chumbo.
46 Uma bola de massa m, cuja velocidade inicial é V_{i}=20 \mathrm{~m} / \mathrm{s}, sofre a ação de uma força aceleradora constante de 15 N , durante um percurso retilíneo de 10 m . Ao final do percurso a bola se choca inelasticamente com uma parede produzindo, entre outros efeitos, deformação e calor. Suponha que apenas 50 \% da energia cinética da bola seja convertida em calor e que 75 \% deste calor seja absorvido pela bola. Se o calor específico da bola vale 0,2 \mathrm{~J} / \mathrm{g}{ }^{\circ} \mathrm{C} e o aumento de temperatura da bola foi de 6^{\circ} \mathrm{C}, qual é a massa da bola?

Passo 1

O enunciado fornece os seguintes dados e pede a massa da bola:
  • velocidade inicial: V_{i}=20\\ \mathrm{m/s},
  • força constante aplicada: F=15\\ \mathrm{N},
  • deslocamento sob essa força: d=10\\ \mathrm{m},
  • ao colidir, 50\% da energia cinética é convertida em calor,
  • da energia térmica gerada, 75\% é absorvida pela própria bola,
  • calor específico da bola: c=0{,}2\\ \mathrm{J/(g\\ ^\circ C)},
  • aumento de temperatura da bola: \Delta T=6{,}0\\ ^\circ\mathrm{C}.
    Pergunta: qual é a massa m da bola?

Passo 2

Vamos identificar as formas de energia envolvidas e as relações que vamos usar (a explicação é passo a passo, tipo “cola” para a prova):
  • Energia cinética inicial da bola: \displaystyle K_i=\frac{1}{2}mV_i^2. Aqui \,m é a massa (incógnita) e \,V_i é a velocidade inicial.
  • Trabalho feito pela força constante ao longo do deslocamento d: \displaystyle W=F\cdot d. O trabalho aumenta a energia cinética (teorema trabalho-energia): a energia cinética ao final do trecho vale a soma da cinética inicial com o trabalho realizado.

Passo 3

Calcule a energia cinética da bola no instante da colisão (após o trabalho da força):
K_{\text{final}} = K_i + W = \frac{1}{2}mV_i^2 + Fd.
Explanação: \frac{1}{2}mV_i^2 é a energia que ela já tinha; Fd é a energia fornecida pela força (em joules).

Passo 4

Agora quantificamos quanto dessa energia vira calor e quanto desse calor a bola absorve:
  • Energia convertida em calor na colisão: 50\% de K_{\text{final}}, ou seja \displaystyle Q_{\text{total}}=0{,}5\,K_{\text{final}}.
  • Fração absorvida pela bola: 75\% de Q_{\text{total}}, ou seja \displaystyle Q_{\text{bola}}=0{,}75\,Q_{\text{total}}=0{,}75\cdot0{,}5\,K_{\text{final}}=0{,}375\,K_{\text{final}}.

Passo 5

A energia térmica absorvida pela bola eleva sua temperatura segundo a relação:
Q_{\text{bola}} = m c \Delta T,
onde c é o calor específico em unidades compatíveis com m em kg. Observação importante: o calor específico foi dado como c=0{,}2\\ \mathrm{J/(g\\ ^\circ C)}. Para usar m em quilogramas devemos converter:
c = 0{,}2\\ \mathrm{J/(g\\ ^\circ C)} = 0{,}2\times1000\\ \mathrm{J/(kg\\ ^\circ C)} = 200\\ \mathrm{J/(kg\\ ^\circ C)}.
Explicação da conversão: 1\\ \mathrm{g}=10^{-3}\\ \mathrm{kg}, então multiplicamos por 1000.

Passo 6

Igualamos a energia absorvida à fração do trabalho/energia cinética convertida em calor:
m c \Delta T = 0{,}375\left(\frac{1}{2}mV_i^2 + Fd\right).
Agora vamos desenvolver algebricamente para isolar m.

Passo 7

Expandindo o membro da direita:
m c \Delta T = 0{,}375\cdot\frac{1}{2}mV_i^2 + 0{,}375\cdot Fd.
Note que 0{,}375\cdot\frac{1}{2}=0{,}1875. Então:
m c \Delta T = 0{,}1875\, m V_i^2 + 0{,}375\, F d.

Passo 8

Colocando todos os termos com m no mesmo lado:
m\left(c\Delta T - 0{,}1875\,V_i^2\right) = 0{,}375\, F d.
Portanto:
m = \frac{0{,}375\, F d}{c\Delta T - 0{,}1875\,V_i^2}.
Explicação: isolamos m fatorando nos termos que o contêm e dividindo pelo coeficiente resultante.

Passo 9

Substituímos os valores numéricos (todos em unidades SI consistentes):
  • F d = 15\\ \mathrm{N}\times10\\ \mathrm{m}=150\\ \mathrm{J}.
  • Numerador: 0{,}375\cdot150 = 56{,}25\\ \mathrm{J}.
  • c\Delta T = 200\\ \mathrm{J/(kg\\ ^\circ C)}\times6{,}0\\ ^\circ\mathrm{C} = 1200\\ \mathrm{J/kg}.
  • 0{,}1875\,V_i^2 = 0{,}1875\times(20\\ \mathrm{m/s})^2 = 0{,}1875\times400 = 75\\ \mathrm{J/kg}.
  • Denominador: 1200 - 75 = 1125\\ \mathrm{J/kg}.

Passo 10

Agora calcule m:
m = \frac{56{,}25}{1125} = 0{,}05\\ \mathrm{kg}.
Conversão para gramas: 0{,}05\\ \mathrm{kg}=50\\ \mathrm{g}.

Resposta

m=0{,}05\\ \mathrm{kg}=50\\ \mathrm{g}

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