43 Mediante chave seletora, um chuveiro elétrico tem a sua resistência graduada para dissipar
no inverno, 3,0 kW no outono,
na primavera e
no verão. Numa manhã de inverno, com temperatura ambiente de
foram usados
de água desse chuveiro para preencher os
do volume faltante do aquário de peixes ornamentais, de modo a elevar sua temperatura de
para
. Sabe-se que
da energia é perdida no aquecimento do ar, a densidade da água é
e calor específico da água é
. Considerando que a água do chuveiro foi colhida de 10 minutos, em que posição se encontrava a chave seletora? Justifique.
Passo 1
O que o problema pede: determinar em qual posição (inverno, outono, primavera ou verão) estava a chave seletora do chuveiro elétrico durante os
minutos em que se recolheram os
de água, justificando.
Informações fornecidas (vou listar tudo explicitamente):
- Potências possíveis do chuveiro:
(inverno), (outono), (primavera) e (verão). - Volume de água recolhido:
(em minutos). - A água do chuveiro foi usada para preencher os
do volume faltante do aquário. - Temperatura ambiente (temperatura inicial da água que entra no chuveiro):
. - Temperatura inicial do aquário:
. - Temperatura final do aquário após adicionar a água do chuveiro:
. - Fração de energia perdida no aquecimento do ar:
(ou seja, só da energia elétrica vai para aquecer a água). - Densidade da água:
. - Calor específico da água:
.
Passo 2
Converter volumes e massas para unidades úteis e achar o volume total do aquário.
Explicação didática rápida: 1 litro (
) de água tem massa
quando
. Também
.
- A água recolhida:
- Se esses
correspondem aos do volume do aquário, o volume total do aquário é
- Portanto a quantidade de água já presente antes da adição era
do total:
- Em massa:
Passo 3
Entender o balanço de energia na mistura água-quário e escrever a equação de conservação de energia (sem considerar perdas durante a mistura).
Didática do conceito: quando misturamos duas massas de água a temperaturas diferentes num recipiente isolado, a energia térmica cedida pela água mais quente é igual à energia térmica ganha pela água mais fria, porque o calor total se conserva. Para um corpo de massa
, calor específico
e variação de temperatura
, a energia trocada é
Aqui a água aquecida do chuveiro sai com certa temperatura
e ao misturar-se com a água do aquário passa para a temperatura final
. A água do aquário aquece de
até
. Então a equação é:
O
cancela, portanto podemos resolver para
.
Passo 4
Calcular a temperatura da água na saída do chuveiro necessária para produzir a mistura final.
Usando a equação do passo anterior e os valores numéricos:
Substituindo
:
Logo
Interpretação: a água do chuveiro precisava sair a aproximadamente
para, ao ser misturada, elevar o aquário de
para
.
Passo 5
Calcular a energia necessária para aquecer os
de água do chuveiro desde a temperatura ambiente
até
.
Didática: A energia absorvida pela água do chuveiro é
Substituindo valores:
Calculemos:
Passo 6
Relacionar essa energia útil com a energia elétrica fornecida pelo chuveiro e com a potência da chave.
Didática: A energia elétrica fornecida pelo chuveiro durante o tempo
é
Como
é perdido para o aquecimento do ar, apenas
da energia elétrica vai para aquecer a água. Portanto
Logo
Passo 7
Substituir
e
e calcular
.
Tempo
minutos
. Substituindo:
Fazendo a divisão:
Passo 8
Comparar o valor obtido com as posições disponíveis da chave e concluir.
Temos
. Das potências dadas:
O valor calculado é muito próximo de
e distante de
. Portanto a posição correta da chave era a posição “inverno”, de
.
Resposta
Inverno —