43 Mediante chave seletora, um chuveiro elétrico tem a sua resistência graduada para dissipar 4,0 \mathrm{~kW} no inverno, 3,0 kW no outono, 2,0 \mathrm{~kW} na primavera e 1,0 \mathrm{~kW} no verão. Numa manhã de inverno, com temperatura ambiente de 10^{\circ} \mathrm{C} foram usados 10,0 \ell de água desse chuveiro para preencher os 16 \% do volume faltante do aquário de peixes ornamentais, de modo a elevar sua temperatura de 23{ }^{\circ} \mathrm{C} para 28^{\circ} \mathrm{C}. Sabe-se que 20 \% da energia é perdida no aquecimento do ar, a densidade da água é \rho=1,0 \mathrm{~g} / \mathrm{cm}^{3} e calor específico da água é 4,18 \mathrm{~J} / \mathrm{gK}. Considerando que a água do chuveiro foi colhida de 10 minutos, em que posição se encontrava a chave seletora? Justifique.

Passo 1

O que o problema pede: determinar em qual posição (inverno, outono, primavera ou verão) estava a chave seletora do chuveiro elétrico durante os 10 minutos em que se recolheram os 10{,}0\\ \ell de água, justificando.
Informações fornecidas (vou listar tudo explicitamente):
  • Potências possíveis do chuveiro: \;4{,}0\\ \mathrm{kW} (inverno), \;3{,}0\\ \mathrm{kW} (outono), \;2{,}0\\ \mathrm{kW} (primavera) e \;1{,}0\\ \mathrm{kW} (verão).
  • Volume de água recolhido: \;10{,}0\\ \ell (em t=10 minutos).
  • A água do chuveiro foi usada para preencher os 16\% do volume faltante do aquário.
  • Temperatura ambiente (temperatura inicial da água que entra no chuveiro): \;10{,}^\circ\mathrm{C}.
  • Temperatura inicial do aquário: \;23{,}^\circ\mathrm{C}.
  • Temperatura final do aquário após adicionar a água do chuveiro: \;28{,}^\circ\mathrm{C}.
  • Fração de energia perdida no aquecimento do ar: 20\% (ou seja, só 80\% da energia elétrica vai para aquecer a água).
  • Densidade da água: \rho=1{,}0\\ \mathrm{g/cm^{3}}.
  • Calor específico da água: c=4{,}18\\ \mathrm{J/(g\cdot K)}.

Passo 2

Converter volumes e massas para unidades úteis e achar o volume total do aquário.
Explicação didática rápida: 1 litro ( \ell) de água tem massa 1{,}0\\ \mathrm{kg} quando \rho=1{,}0\\ \mathrm{g/cm^{3}}. Também 1\\ \mathrm{kg}=1000\\ \mathrm{g}.
  • A água recolhida: \;10{,}0\\ \ell = 10{,}0\\ \mathrm{kg} = 10\,000\\ \mathrm{g}.
  • Se esses 10{,}0\\ \ell correspondem aos 16\% do volume do aquário, o volume total do aquário é
V_{\text{total}}=\frac{10{,}0\\ \ell}{0{,}16}=62{,}5\\ \ell.
  • Portanto a quantidade de água já presente antes da adição era 84\% do total:
V_{\text{aqua,antes}}=0{,}84\cdot 62{,}5\\ \ell=52{,}5\\ \ell.
  • Em massa:
m_{\text{ad}}=10{,}0\\ \ell = 10\,000\\ \mathrm{g},\qquad m_{\text{aqua}}=52{,}5\\ \ell=52{,}500\\ \mathrm{g}.

Passo 3

Entender o balanço de energia na mistura água-quário e escrever a equação de conservação de energia (sem considerar perdas durante a mistura).
Didática do conceito: quando misturamos duas massas de água a temperaturas diferentes num recipiente isolado, a energia térmica cedida pela água mais quente é igual à energia térmica ganha pela água mais fria, porque o calor total se conserva. Para um corpo de massa m, calor específico c e variação de temperatura \Delta T, a energia trocada é
Q=mc\Delta T.
Aqui a água aquecida do chuveiro sai com certa temperatura \;T_{\text{saída}}í e ao misturar-se com a água do aquário passa para a temperatura final \;T_f=28{,}^\circ\mathrm{C}. A água do aquário aquece de T_{\text{aqua,i}}=23{,}^\circ\mathrm{C} até T_f. Então a equação é:
m_{\text{ad}}\,c\,(T_{\text{saída}}-T_f)=m_{\text{aqua}}\,c\,(T_f-T_{\text{aqua,i}}).í
O c cancela, portanto podemos resolver para T_{\text{saída}}í.

Passo 4

Calcular a temperatura da água na saída do chuveiro necessária para produzir a mistura final.
Usando a equação do passo anterior e os valores numéricos:
T_{\text{saída}}-T_f=\frac{m_{\text{aqua}}}{m_{\text{ad}}}\,(T_f-T_{\text{aqua,i}}).í
Substituindo \;m_{\text{aqua}}=52{,}500\\ \mathrm{g},\; m_{\text{ad}}=10{,}000\\ \mathrm{g},\; T_f=28{,}^\circ\mathrm{C},\; T_{\text{aqua,i}}=23{,}^\circ\mathrm{C}:
T_{\text{saída}}-28 = \frac{52{,}500}{10{,}000}\cdot(28-23)=5{,}25\cdot 5=26{,}25.í
Logo
T_{\text{saída}}=28+26{,}25=54{,}25\\ ^\circ\mathrm{C}.í
Interpretação: a água do chuveiro precisava sair a aproximadamente \;54{,}25\\ ^\circ\mathrm{C} para, ao ser misturada, elevar o aquário de 23\\ ^\circ\mathrm{C} para 28\\ ^\circ\mathrm{C}.

Passo 5

Calcular a energia necessária para aquecer os 10{,}0\\ \ell de água do chuveiro desde a temperatura ambiente \;10{,}^\circ\mathrm{C} até \;T_{\text{saída}}=54{,}25\\ ^\circ\mathrm{C}í.
Didática: A energia absorvida pela água do chuveiro é
Q_{\text{água}}=m_{\text{ad}}\,c\,(T_{\text{saída}}-T_{\text{amb}}).áí
Substituindo valores:
\Delta T_{\text{água}}=54{,}25-10=44{,}25\\ \mathrm{K}.á
Q_{\text{água}}=10{,}000\\ \mathrm{g}\times 4{,}18\\ \frac{\mathrm{J}}{\mathrm{g\cdot K}}\times 44{,}25\\ \mathrm{K}.á
Calculemos:
4{,}18\times 44{,}25=184{,}965\quad\Rightarrow\quad Q_{\text{água}}=10{,}000\times 184{,}965=1{,}849{,}650\\ \mathrm{J}\approx 1{,}85\times 10^{6}\\ \mathrm{J}.á

Passo 6

Relacionar essa energia útil com a energia elétrica fornecida pelo chuveiro e com a potência da chave.
Didática: A energia elétrica fornecida pelo chuveiro durante o tempo t é
E_{\text{el}}=P\cdot t.
Como 20\% é perdido para o aquecimento do ar, apenas 80\% da energia elétrica vai para aquecer a água. Portanto
0{,}8\,E_{\text{el}}=Q_{\text{água}}.á
Logo
P=\frac{Q_{\text{água}}}{0{,}8\,t}.á

Passo 7

Substituir Q_{\text{água}}á e t e calcular P.
Tempo t=10 minutos =10\cdot 60=600\\ \mathrm{s}. Substituindo:
P=\frac{1{,}849{,}650\\ \mathrm{J}}{0{,}8\times 600\\ \mathrm{s}}=\frac{1{,}849{,}650}{480}\\ \mathrm{W}.
Fazendo a divisão:
P\approx 3{,}853{,}44\\ \mathrm{W}\approx 3{,}85\\ \mathrm{kW}.

Passo 8

Comparar o valor obtido com as posições disponíveis da chave e concluir.
Temos P\approx 3{,}85\\ \mathrm{kW}. Das potências dadas:
1{,}0\\ \mathrm{kW},\;2{,}0\\ \mathrm{kW},\;3{,}0\\ \mathrm{kW},\;4{,}0\\ \mathrm{kW}.
O valor calculado é muito próximo de \;4{,}0\\ \mathrm{kW} e distante de \;3{,}0\\ \mathrm{kW}. Portanto a posição correta da chave era a posição “inverno”, de \;4{,}0\\ \mathrm{kW}.

Resposta

Inverno — 4{,}0\\ \mathrm{kW}

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