22- Qual o valor da integral de linha \int_{C}-y d x+x d y onde C é a curva y^{2}=3 x de (0,0) a (3,3) ?
((a) 3
(b) -3
(c) 9
(d) -9
(e) NRA

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que ele pede.
  • Dado: a integral de linha \displaystyle \int_{C} -y\,dx + x\,dy.
  • Dado: a curva C é a parábola \,y^{2}=3x, indo do ponto (0,0) até (3,3).
  • Informação útil extraída do enunciado: ao longo de C vale \,x=\dfrac{y^{2}}{3}.
  • Pedido: calcular o valor numérico da integral de linha \displaystyle \int_{C} -y\,dx + x\,dy com orientação de (0,0) para (3,3).

Passo 2

Escolher uma parametrização simples da curva (a etapa de parametrizar é padrão para calcular integrais de linha quando a curva é dada por uma relação entre x e y).
  • Como \,y^{2}=3x, eu posso escrever explicitamente x em função de y: \displaystyle x=\dfrac{y^{2}}{3}.
  • Vou tomar o parâmetro t igual a y. Então defino a parametrização
x(t)=\dfrac{t^{2}}{3},\qquad y(t)=t.
  • Os extremos: no ponto inicial (0,0) temos t=0; no ponto final (3,3) temos t=3. Assim o parâmetro varia em [0,3].
  • A orientação pedida (de (0,0) para (3,3)) corresponde a t aumentando de 0 até 3.

Passo 3

Recordar a fórmula prática para calcular integrais de linha do tipo \displaystyle \int_{C} M\,dx+N\,dy quando a curva é parametrizada por t.
  • Se x=x(t) e y=y(t) para t\in[a,b], então
\displaystyle \int_{C} M(x,y)\,dx+N(x,y)\,dy = \int_{a}^{b}\bigl(M(x(t),y(t))\,x'(t)+N(x(t),y(t))\,y'(t)\bigr)\,dt.
  • Aqui M(x,y)=-y e N(x,y)=x. Na fórmula, x'(t) é a derivada de x(t) em relação a t e y'(t) é a derivada de y(t) em relação a t.

Passo 4

Calcular as derivadas da parametrização e avaliar M e N ao longo da curva parametrizada.
  • Derivadas:
x'(t)=\dfrac{d}{dt}\!\left(\dfrac{t^{2}}{3}\right)=\dfrac{2t}{3},\qquad y'(t)=\dfrac{d}{dt}(t)=1.
  • Avaliando M e N sobre a parametrização:
M(x(t),y(t))=-y(t)=-t,\qquad N(x(t),y(t))=x(t)=\dfrac{t^{2}}{3}.
  • Montando o integrando da fórmula:
M(x(t),y(t))\,x'(t)+N(x(t),y(t))\,y'(t) = (-t)\cdot\left(\dfrac{2t}{3}\right)+\left(\dfrac{t^{2}}{3}\right)\cdot 1 = -\dfrac{2t^{2}}{3}+\dfrac{t^{2}}{3}=-\dfrac{t^{2}}{3}.

Passo 5

Calcular a integral em t de 0 a 3.
  • A integral original fica
\displaystyle \int_{C}-y\,dx+x\,dy = \int_{0}^{3}\left(-\dfrac{t^{2}}{3}\right)\,dt = -\dfrac{1}{3}\int_{0}^{3}t^{2}\,dt.
  • Integrando t^{2}: \displaystyle \int t^{2}\,dt=\dfrac{t^{3}}{3}. Portanto
-\dfrac{1}{3}\int_{0}^{3}t^{2}\,dt = -\dfrac{1}{3}\left[\dfrac{t^{3}}{3}\right]_{0}^{3} = -\dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{3^{3}-0}{3} = -\dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{27}{3} = -\dfrac{1}{3}\cdot 9 = -3.

Passo 6

Interpretação final e correspondência com as alternativas.
  • O valor da integral é -3, que corresponde à alternativa (b).

Resposta

(b) -3

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