22- Qual o valor da integral de linha
onde
é a curva
de
a
?
((a) 3
(b) -3
(c) 9
(d) -9
(e) NRA
((a) 3
(b) -3
(c) 9
(d) -9
(e) NRA
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que ele pede.
- Dado: a integral de linha
. - Dado: a curva
é a parábola , indo do ponto até . - Informação útil extraída do enunciado: ao longo de
vale . - Pedido: calcular o valor numérico da integral de linha
com orientação de para .
Passo 2
Escolher uma parametrização simples da curva (a etapa de parametrizar é padrão para calcular integrais de linha quando a curva é dada por uma relação entre
e
).
- Como
, eu posso escrever explicitamente em função de : . - Vou tomar o parâmetro
igual a . Então defino a parametrização
- Os extremos: no ponto inicial
temos ; no ponto final temos . Assim o parâmetro varia em . - A orientação pedida (de
para ) corresponde a aumentando de até .
Passo 3
Recordar a fórmula prática para calcular integrais de linha do tipo
quando a curva é parametrizada por
.
- Se
e para , então
- Aqui
e . Na fórmula, é a derivada de em relação a e é a derivada de em relação a .
Passo 4
Calcular as derivadas da parametrização e avaliar
e
ao longo da curva parametrizada.
- Derivadas:
- Avaliando
e sobre a parametrização:
- Montando o integrando da fórmula:
Passo 5
Calcular a integral em
de
a
.
- A integral original fica
- Integrando
: . Portanto
Passo 6
Interpretação final e correspondência com as alternativas.
- O valor da integral é
, que corresponde à alternativa (b).
Resposta
(b) -3