Determine as derivadas parciais das seguintes funções:
z=x^{2} \ln \left(1+x^{2}+y^{2}\right)

Passo 1

O enunciado dá a função de duas variáveis
z = x^{2}\ln\!\left(1+x^{2}+y^{2}\right)
e pede para determinar as derivadas parciais \dfrac{\partial z}{\partial x} e \dfrac{\partial z}{\partial y}.
Informações relevantes fornecidas:
  • A função depende de duas variáveis \,x e \,y.
  • A expressão é produto de duas funções: x^{2} e \ln(1+x^{2}+y^{2}).
  • Devemos calcular as duas derivadas parciais separadamente.

Passo 2

O que é derivada parcial (rapidamente e de forma prática):
  • A derivada parcial em relação a \,x, \dfrac{\partial z}{\partial x}, mede como z varia quando só se muda \,x e \,y fica fixo.
  • Analogamente, \dfrac{\partial z}{\partial y} mede a variação quando só se muda \,y e \,x fica fixo.
    Na prática, ao derivar em relação a uma variável, tratamos a outra como constante.

Passo 3

Regras e fórmulas que vamos usar (com explicação simples):
  • Regra do produto (aplicada a funções de várias variáveis): se \;z = u(x,y)\,v(x,y)\; então
\dfrac{\partial z}{\partial x} = \dfrac{\partial u}{\partial x}\,v + u\,\dfrac{\partial v}{\partial x}.
Isto significa: deriva-se o primeiro mantendo o segundo, depois soma-se o primeiro vezes a derivada do segundo.
  • Regra da cadeia para logaritmo: se \;v(w)=\ln(w)\; com w=w(x,y), então
\dfrac{\partial v}{\partial x}=\dfrac{1}{w}\,\dfrac{\partial w}{\partial x}.
No nosso caso w(x,y)=1+x^{2}+y^{2}, então \dfrac{\partial w}{\partial x}=2x e \dfrac{\partial w}{\partial y}=2y.
  • Derivada elementar: \dfrac{d}{dx}(x^{2})=2x.

Passo 4

Cálculo de \dfrac{\partial z}{\partial x} passo a passo.
Identificamos
u(x,y)=x^{2},\qquad v(x,y)=\ln\!\left(1+x^{2}+y^{2}\right).
Aplicando a regra do produto:
\dfrac{\partial z}{\partial x}=\dfrac{\partial u}{\partial x}\,v+u\,\dfrac{\partial v}{\partial x}.
Calculamos cada termo:
\dfrac{\partial u}{\partial x}=2x.
Para \dfrac{\partial v}{\partial x} usamos regra da cadeia com w=1+x^{2}+y^{2}:
\dfrac{\partial v}{\partial x}=\dfrac{1}{w}\,\dfrac{\partial w}{\partial x}=\dfrac{1}{1+x^{2}+y^{2}}\cdot 2x=\dfrac{2x}{1+x^{2}+y^{2}}.
Substituindo na fórmula do produto:
\dfrac{\partial z}{\partial x}=2x\ln\!\left(1+x^{2}+y^{2}\right)+x^{2}\cdot\dfrac{2x}{1+x^{2}+y^{2}}.

Passo 5

Simplificação e forma final de \dfrac{\partial z}{\partial x}.
Colocando em forma factorizada (útil na prova):
\dfrac{\partial z}{\partial x}=2x\ln\!\left(1+x^{2}+y^{2}\right)+\dfrac{2x^{3}}{1+x^{2}+y^{2}} =2x\left[\ln\!\left(1+x^{2}+y^{2}\right)+\dfrac{x^{2}}{1+x^{2}+y^{2}}\right].

Passo 6

Cálculo de \dfrac{\partial z}{\partial y} passo a passo.
Agora tratamos x como constante e derivamos em relação a y. A expressão é
z(x,y)=x^{2}\ln\!\left(1+x^{2}+y^{2}\right),
onde x^{2} é constante em relação a y. Logo:
\dfrac{\partial z}{\partial y}=x^{2}\cdot\dfrac{\partial}{\partial y}\left[\ln\!\left(1+x^{2}+y^{2}\right)\right].
Usando regra da cadeia com w=1+x^{2}+y^{2} e \dfrac{\partial w}{\partial y}=2y, temos
\dfrac{\partial}{\partial y}\ln(w)=\dfrac{1}{w}\,\dfrac{\partial w}{\partial y}=\dfrac{2y}{1+x^{2}+y^{2}}.
Portanto
\dfrac{\partial z}{\partial y}=x^{2}\cdot\dfrac{2y}{1+x^{2}+y^{2}}=\dfrac{2x^{2}y}{1+x^{2}+y^{2}}.

Passo 7

Observações finais rápidas (dicas para a prova):
  • Verificar sempre qual variável é tratada como fixa: ao derivar em x mantenha y fixo, e vice-versa.
  • Não esquecer do fator 2 vindo de \dfrac{d}{dx}(x^{2}) ou \dfrac{d}{dy}(y^{2}).
  • Se precisar, fatorar 2x ou 2y ajuda a conferir unidades e possíveis simplificações.
  • Boa notícia: resultado limpo e simétrico — observe que o denominador comum é 1+x^{2}+y^{2} nas partes vindas do logaritmo.

Resposta

\dfrac{\partial z}{\partial x}=2x\ln\!\left(1+x^{2}+y^{2}\right)+\dfrac{2x^{3}}{1+x^{2}+y^{2}}
\dfrac{\partial z}{\partial y}=\dfrac{2x^{2}y}{1+x^{2}+y^{2}}

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