Determine as derivadas parciais das seguintes funções:
Passo 1
O enunciado dá a função de duas variáveis
e pede para determinar as derivadas parciais
e
.
Informações relevantes fornecidas:
- A função depende de duas variáveis
e . - A expressão é produto de duas funções:
e . - Devemos calcular as duas derivadas parciais separadamente.
Passo 2
O que é derivada parcial (rapidamente e de forma prática):
- A derivada parcial em relação a
, , mede como varia quando só se muda e fica fixo. - Analogamente,
mede a variação quando só se muda e fica fixo.
Na prática, ao derivar em relação a uma variável, tratamos a outra como constante.
Passo 3
Regras e fórmulas que vamos usar (com explicação simples):
- Regra do produto (aplicada a funções de várias variáveis): se
então
Isto significa: deriva-se o primeiro mantendo o segundo, depois soma-se o primeiro vezes a derivada do segundo.
- Regra da cadeia para logaritmo: se
com , então
No nosso caso
, então
e
.
- Derivada elementar:
.
Passo 4
Cálculo de
passo a passo.
Identificamos
Identificamos
Aplicando a regra do produto:
Calculamos cada termo:
Para
usamos regra da cadeia com
:
Substituindo na fórmula do produto:
Passo 5
Simplificação e forma final de
.
Colocando em forma factorizada (útil na prova):
Colocando em forma factorizada (útil na prova):
Passo 6
Cálculo de
passo a passo.
Agora tratamos como constante e derivamos em relação a
. A expressão é
Agora tratamos
onde
é constante em relação a
. Logo:
Usando regra da cadeia com
e
, temos
Portanto
Passo 7
Observações finais rápidas (dicas para a prova):
- Verificar sempre qual variável é tratada como fixa: ao derivar em
mantenha fixo, e vice-versa. - Não esquecer do fator 2 vindo de
ou . - Se precisar, fatorar
ou ajuda a conferir unidades e possíveis simplificações. - Boa notícia: resultado limpo e simétrico — observe que o denominador comum é
nas partes vindas do logaritmo.