Use diferenciação implícita para determinar \frac{\partial z}{\partial x} \mathrm{e} \frac{\partial z}{\partial y} nas equações abaixo, assumindo que z= z(x, y) :
x^{2}+y^{2}+z^{2}=25

Passo 1

O enunciado dá a equação
x^{2}+y^{2}+z^{2}=25
e diz que z=z(x,y) (ou seja, z é uma função implícita das variáveis x e y). O que se pede:
  • Determinar \dfrac{\partial z}{\partial x}.
  • Determinar \dfrac{\partial z}{\partial y}.
Informações relevantes fornecidas:
  • A relação entre x,y,z é a equação de uma esfera de raio 5: x^{2}+y^{2}+z^{2}=25.
  • z depende de x e y (não é uma constante), por isso ao diferenciar z^{2} surgirão derivadas parciais de z.

Passo 2

Ideia e ferramenta que vamos usar (explicação didática):
Quando uma variável (aqui z) é dada implicitamente por uma equação envolvendo x,y e z, para achar \dfrac{\partial z}{\partial x} ou \dfrac{\partial z}{\partial y} aplicamos diferenciação implícita. A regra central que usamos é a regra da cadeia para derivadas parciais:
  • Se uma função é composta, por exemplo h(x,y)=\bigl(z(x,y)\bigr)^{2}, então a derivada parcial de h em relação a x é dada por
\frac{\partial}{\partial x}\bigl(z(x,y)^2\bigr)=2\,z(x,y)\,\frac{\partial z}{\partial x}.
Aqui 2z é a derivada externa de u\mapsto u^{2} avaliada em u=z(x,y), e \dfrac{\partial z}{\partial x} vem da derivada interna (regra da cadeia). O mesmo vale para derivação em relação a y.
Também usaremos que ao derivar em relação a x tratamos y como constante, e ao derivar em relação a y tratamos x como constante.

Passo 3

Diferenciação implícita em relação a x (detalhando cada termo):
Partimos da equação
x^{2}+y^{2}+z^{2}=25.
Derivando ambos os lados em relação a x (mantendo y constante), obtemos termo a termo:
  • \dfrac{\partial}{\partial x}\bigl(x^{2}\bigr)=2x.
  • \dfrac{\partial}{\partial x}\bigl(y^{2}\bigr)=0, porque y é tratado como constante quando derivamos em relação a x.
  • \dfrac{\partial}{\partial x}\bigl(z^{2}\bigr)=2z\,\dfrac{\partial z}{\partial x} pela regra da cadeia (explicada no passo anterior).
  • \dfrac{\partial}{\partial x}(25)=0.
Portanto a igualdade de derivadas fica
2x + 0 + 2z\,\frac{\partial z}{\partial x}=0.

Passo 4

Isolando \dfrac{\partial z}{\partial x} (mostrar álgebra passo a passo):
A equação do passo anterior é
2x + 2z\,\frac{\partial z}{\partial x}=0.
Subtraindo 2x dos dois lados:
2z\,\frac{\partial z}{\partial x} = -2x.
Dividindo ambos os lados por 2z (a divisão só é válida quando z\neq 0; veremos comentário sobre isso a seguir):
\frac{\partial z}{\partial x} = -\frac{x}{z}.
Observação importante sobre z=0: se num ponto específico da esfera z=0, a expressão acima exige cuidado porque não se pode dividir por zero. Nesse caso particular o raciocínio precisa tratar a situação diretamente (por exemplo, naquele ponto a normal da esfera é puramente vertical e a derivada pode ser indefinida como função; porém a fórmula -x/z é válida sempre que z\neq 0).

Passo 5

Diferenciação implícita em relação a y (mesma ideia, mostrando termos):
Voltando à equação
x^{2}+y^{2}+z^{2}=25,
derivamos agora em relação a y (mantendo x constante). Termo a termo:
  • \dfrac{\partial}{\partial y}\bigl(x^{2}\bigr)=0, porque x é constante ao derivar em relação a y.
  • \dfrac{\partial}{\partial y}\bigl(y^{2}\bigr)=2y.
  • \dfrac{\partial}{\partial y}\bigl(z^{2}\bigr)=2z\,\dfrac{\partial z}{\partial y} pela regra da cadeia.
  • \dfrac{\partial}{\partial y}(25)=0.
Assim obtemos
0 + 2y + 2z\,\frac{\partial z}{\partial y}=0.

Passo 6

Isolando \dfrac{\partial z}{\partial y} e observações finais:
A equação do passo anterior é
2y + 2z\,\frac{\partial z}{\partial y}=0.
Passe 2y para o outro lado:
2z\,\frac{\partial z}{\partial y} = -2y.
Dividindo por 2z (novamente supondo z\neq 0):
\frac{\partial z}{\partial y} = -\frac{y}{z}.
Comentário prático para a prova: quando tiver uma relação implícita F(x,y,z)=0, diferencie em relação a x (ou y) termo a termo, aplicando a regra da cadeia nos termos que envolvem z. Depois isole a incógnita \dfrac{\partial z}{\partial x} (ou \dfrac{\partial z}{\partial y}). Sempre verifique pontos singulares onde z=0 porque ali pode haver necessidade de cuidadosa análise.
Exemplo numérico rápido para fixar:
  • Pegue x=3, y=0. Da equação x^{2}+y^{2}+z^{2}=25 resulta z^{2}=25-9=16, então z=\pm 4.
  • Para z=4: \dfrac{\partial z}{\partial x}=-\dfrac{3}{4}, \dfrac{\partial z}{\partial y}=0.
  • Para z=-4: \dfrac{\partial z}{\partial x}=-\dfrac{3}{-4}=\dfrac{3}{4}, \dfrac{\partial z}{\partial y}=0.
    Isso mostra que o sinal de z afeta o sinal das derivadas parciais.

Resposta

\dfrac{\partial z}{\partial x} = -\dfrac{x}{z}
\dfrac{\partial z}{\partial y} = -\dfrac{y}{z}

Exercícios relacionados