Use diferenciação implícita para determinar
nas equações abaixo, assumindo que
:
Passo 1
O enunciado dá a equação
e diz que
(ou seja,
é uma função implícita das variáveis
e
). O que se pede:
- Determinar
. - Determinar
.
Informações relevantes fornecidas:
- A relação entre
é a equação de uma esfera de raio : . -
depende de e (não é uma constante), por isso ao diferenciar surgirão derivadas parciais de .
Passo 2
Ideia e ferramenta que vamos usar (explicação didática):
Quando uma variável (aqui ) é dada implicitamente por uma equação envolvendo
e
, para achar
ou
aplicamos diferenciação implícita. A regra central que usamos é a regra da cadeia para derivadas parciais:
Quando uma variável (aqui
- Se uma função é composta, por exemplo
, então a derivada parcial de em relação a é dada por
Aqui
é a derivada externa de
avaliada em
, e
vem da derivada interna (regra da cadeia). O mesmo vale para derivação em relação a
.
Também usaremos que ao derivar em relação a
tratamos
como constante, e ao derivar em relação a
tratamos
como constante.
Passo 3
Diferenciação implícita em relação a
(detalhando cada termo):
Partimos da equação
Partimos da equação
Derivando ambos os lados em relação a
(mantendo
constante), obtemos termo a termo:
-
. -
, porque é tratado como constante quando derivamos em relação a . -
pela regra da cadeia (explicada no passo anterior). -
.
Portanto a igualdade de derivadas fica
Passo 4
Isolando
(mostrar álgebra passo a passo):
A equação do passo anterior é
A equação do passo anterior é
Subtraindo
dos dois lados:
Dividindo ambos os lados por
(a divisão só é válida quando
; veremos comentário sobre isso a seguir):
Observação importante sobre
: se num ponto específico da esfera
, a expressão acima exige cuidado porque não se pode dividir por zero. Nesse caso particular o raciocínio precisa tratar a situação diretamente (por exemplo, naquele ponto a normal da esfera é puramente vertical e a derivada pode ser indefinida como função; porém a fórmula
é válida sempre que
).
Passo 5
Diferenciação implícita em relação a
(mesma ideia, mostrando termos):
Voltando à equação
Voltando à equação
derivamos agora em relação a
(mantendo
constante). Termo a termo:
-
, porque é constante ao derivar em relação a . -
. -
pela regra da cadeia. -
.
Assim obtemos
Passo 6
Isolando
e observações finais:
A equação do passo anterior é
A equação do passo anterior é
Passe
para o outro lado:
Dividindo por
(novamente supondo
):
Comentário prático para a prova: quando tiver uma relação implícita
, diferencie em relação a
(ou
) termo a termo, aplicando a regra da cadeia nos termos que envolvem
. Depois isole a incógnita
(ou
). Sempre verifique pontos singulares onde
porque ali pode haver necessidade de cuidadosa análise.
Exemplo numérico rápido para fixar:
- Pegue
, . Da equação resulta , então . - Para
: , . - Para
: , .
Isso mostra que o sinal deafeta o sinal das derivadas parciais.