Se P(A)=23 e P(B)=49, mostre que:
a) P(A cup B) >= 23.
b) 29 <= P(A cap barB) <= 59.
c) 19 <= P(A cap B) <= 49.

Passo 1

Temos um problema de probabilidade onde P(A)=2/3 e P(B)=4/9. Precisamos mostrar três desigualdades envolvendo união, interseção e complementar dos eventos A e B. Para isso, vamos usar a fórmula de inclusão–exclusão, limites para P(Acap B) e a relação entre um evento e seu complementar.

Passo 2

Para a parte (a), usamos a fórmula de inclusão–exclusão:
P(Acup B)=P(A)+P(B)-P(Acap B)
Como sempre vale P(Acap B)<=min(P(A),P(B))=4/9, segue
P(Acup B)>= 2/3 + 4/9 - 4/9 = 2/3
Portanto P(Acup B)>= 2/3, como queríamos.

Passo 3

Para a parte ©, lembramos dos limites gerais de interseção:
P(Acap B)<= min(P(A),P(B))=4/9 e P(Acap B)>= maxl(0,,P(A)+P(B)-1r)=max(0,2/3+4/9-1)=1/9
Logo
1/9<= P(Acap B)<= 4/9,
o que prova ©.

Passo 4

Para a parte (b), usamos que Acapbar B é a parte de A que não está em B, então
$$P(A\cap\bar B)=P(A)-P(A\cap B).
P(Acapbar B)=P(A)-P(Acap B) P(A\cap\bar B)\in\bigl[2/3-4/9,,2/3-1/9\bigr]=[2/9,5/9],$$
mostrando (b).

Resposta

a) P(Acup B)>= 2/3.
b) 2/9<= P(Acapbar B)<= 5/9.
c) 1/9<= P(Acap B)<= 4/9.

Exercícios relacionados