Demonstre a seguinte lei, chamada Lei de Exportação, por meio de propriedades do cálculo proposicional e também pela definição usando tabelas-verdade:
Passo 1
Vamos analisar a Lei de Exportação que diz que $ p \rightarrow (q \rightarrow r) $ é equivalente a $ (p \wedge q) \rightarrow r
\rightarrow
\wedge $). Para resolver isso, vamos precisar aplicar propriedades do cálculo proposicional e também construir uma tabela-verdade para verificar a equivalência.
Passo 2
Primeiro, vamos demonstrar a equivalência usando as propriedades do cálculo proposicional.
-
Reescrevendo as implicações:
Sabemos que uma implicação $ a \rightarrow b $ pode ser reescrita como $ \neg a \vee b $. Aplicando isso, temos: -
Associatividade da disjunção:
A disjunção ($ \vee $) é associativa, ou seja, $ \neg p \vee \neg q \vee r $ pode ser reescrita sem alterar o resultado:Aqui, utilizamos a Lei de De Morgan, que afirma que $ \neg p \vee \neg q = \neg (p \wedge q) $. -
Reescrevendo como implicação:
A expressão $ \neg (p \wedge q) \vee r $ pode ser novamente reescrita como uma implicação:
Portanto, chegamos a:
Passo 3
Agora, vamos verificar essa equivalência usando uma tabela-verdade. Vamos listar todas as combinações possíveis de verdade para $ p $, $ q $ e $ r $, e calcular $ p \rightarrow (q \rightarrow r) $ e $ (p \wedge q) \rightarrow r $.
Análise da Tabela-verdade:
- Em todas as linhas, os valores das colunas $ p \rightarrow (q \rightarrow r) $ e $ (p \wedge q) \rightarrow r $ são iguais.
- Isso confirma que as duas expressões são logicamente equivalentes.
Resposta
Portanto, demonstramos que $ p \rightarrow (q \rightarrow r) $ é logicamente equivalente a $ (p \wedge q) \rightarrow r $ tanto usando propriedades do cálculo proposicional quanto pela construção da tabela-verdade.