Demonstre a seguinte lei, chamada Lei de Exportação, por meio de propriedades do cálculo proposicional e também pela definição usando tabelas-verdade:
p (q r) Leftrightarrow(p wed>= q) r

Passo 1

Vamos analisar a Lei de Exportação que diz que $ p \rightarrow (q \rightarrow r) $ é equivalente a $ (p \wedge q) \rightarrow r p (q r) áóçã \rightarrow (p wed>= q) r çã \wedge $). Para resolver isso, vamos precisar aplicar propriedades do cálculo proposicional e também construir uma tabela-verdade para verificar a equivalência.

Passo 2

Primeiro, vamos demonstrar a equivalência usando as propriedades do cálculo proposicional.
  1. Reescrevendo as implicações:
    Sabemos que uma implicação $ a \rightarrow b $ pode ser reescrita como $ \neg a \vee b $. Aplicando isso, temos:
    a b
  2. Associatividade da disjunção:
    A disjunção ($ \vee $) é associativa, ou seja, $ \neg p \vee \neg q \vee r $ pode ser reescrita sem alterar o resultado:
    neg a vee b
    Aqui, utilizamos a Lei de De Morgan, que afirma que $ \neg p \vee \neg q = \neg (p \wedge q) $.
  3. Reescrevendo como implicação:
    A expressão $ \neg (p \wedge q) \vee r $ pode ser novamente reescrita como uma implicação:
    p (q r) = neg p vee (neg q vee r)
Portanto, chegamos a:
vee

Passo 3

Agora, vamos verificar essa equivalência usando uma tabela-verdade. Vamos listar todas as combinações possíveis de verdade para $ p $, $ q $ e $ r $, e calcular $ p \rightarrow (q \rightarrow r) $ e $ (p \wedge q) \rightarrow r $.
p
Análise da Tabela-verdade:
  • Em todas as linhas, os valores das colunas $ p \rightarrow (q \rightarrow r) $ e $ (p \wedge q) \rightarrow r $ são iguais.
  • Isso confirma que as duas expressões são logicamente equivalentes.

Resposta

Portanto, demonstramos que $ p \rightarrow (q \rightarrow r) $ é logicamente equivalente a $ (p \wedge q) \rightarrow r $ tanto usando propriedades do cálculo proposicional quanto pela construção da tabela-verdade.

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