23^circ ) Mostre que
Se 0<x<y então y^-1<x^-1.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, dados dois números reais positivos com
0 < x < y,
então ocorre
y^-1 < x^-1
O conteúdo é manipulação de inequações e propriedade de multiplicar por um número positivo.

Passo 2

Como x>0 e y>0, temos o produto xy>0. Logo, o recíproco
1xy
também é positivo. Multiplicando a cadeia de desigualdades
0 < x < y
por tfrac1xy>0, a ordem se mantém:
0 < xcdot1xy < ycdot1xy
Simplificando cada termo, obtemos
0 < 1y < 1x

Resposta

Da desigualdade 0<1/y<1/x segue imediatamente que
y^-1<x^-1,
como queríamos demonstrar.

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