23^circ ) Mostre que
Se x1<y1 e x2<y2, então x1+x2<y1+y2.

Passo 1

O enunciado pede para provar que, na reta dos reais, a soma preserva a desigualdade: se ,x1<y1 e ,x2<y2, então ,x1+x2<y1+y2. Vamos usar duas propriedades dos reais:
  1. Compatibilidade da ordem com a adição: se a<b então a+c<b+c.
  2. Transitividade da desigualdade: se a<b e b<c então a<c.

Passo 2

Da hipótese ,x1<y1, aplicamos a compatibilidade da ordem com a adição somando x2 em ambos os lados. Assim, obtemos
x1+x2<y1+x2

Passo 3

Da hipótese ,x2<y2, aplicamos novamente a compatibilidade da ordem com a adição somando y1 em ambos os lados. Assim, obtemos
y1+x2<y1+y2

Passo 4

Agora, pela transitividade de <, de
x1+x2<y1+x2
e
y1+x2<y1+y2
segue imediatamente que
x1+x2<y1+y2

Resposta

,x1+x2<y1+y2

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