1. Se 0<alpha<1 / 2 e f(x, y)=|x y|^alpha, mostre que:
    (a) fx(0,0)=fy(0,0)=0.
    (b) f tem derivada direcional na origem apenas nas direções i e j.

Passo 1

O enunciado define a função
f(x,y)=|x,y|^alpha
com 0<alpha<tfrac12, e pede:
– em (a), calcular as derivadas parciais fx(0,0) e fy(0,0);
– em (b), investigar para quais direções vec u a derivada direcional de f na origem existe.
Para isso vamos usar a definição de derivada parcial e de derivada direcional na origem.

Passo 2

A derivada parcial de f em (0,0) em relação a x é
fx(0,0) =limhto0f(0+h,0)-f(0,0)h =limhto0|hcdot 0|^alpha-0h =limhto00h =0
Analogamente,
fy(0,0) =limkto0f(0,0+k)-f(0,0)k =limkto0|0cdot k|^alphak =0

Passo 3

Para a derivada direcional de f na origem na direção vec u=(a,b) usamos
Dvec uf(0,0) =limtto0f(t,a,t,b)-f(0,0)t =limtto0|(t,a)(t,b)|^alphat =limtto0|a,b|^alpha,|t|^2alphat =|a,b|^alpha,limtto0|t|^2alpha-1

Passo 4

Como
Logo, se (não existe derivada finita), e se então
Isto ocorre apenas quando uma das coordenadas de é zero, ou seja, nas direções e .

Resposta

(a) fx(0,0)=0 e fy(0,0)=0.
(b) Há derivada direcional em (0,0) somente para vec u tais que a,b=0, isto é, nas direções vec i e vec j.

Exercícios relacionados