- Se
e
, mostre que:
(a)
.
(b)
tem derivada direcional na origem apenas nas direções
e
.
(a)
(b)
Passo 1
O enunciado define a função
com
, e pede:
– em (a), calcular as derivadas parciais e
;
– em (b), investigar para quais direções a derivada direcional de
na origem existe.
Para isso vamos usar a definição de derivada parcial e de derivada direcional na origem.
– em (a), calcular as derivadas parciais
– em (b), investigar para quais direções
Para isso vamos usar a definição de derivada parcial e de derivada direcional na origem.
Passo 2
A derivada parcial de
em
em relação a
é
Analogamente,
Passo 3
Para a derivada direcional de
na origem na direção
usamos
Passo 4
Como
Logo, se (não existe derivada finita), e se
então
Isto ocorre apenas quando uma das coordenadas de
é zero, ou seja, nas direções
e
.
Resposta
(a)
e
.
(b) Há derivada direcional em somente para
tais que
, isto é, nas direções
e
.
(b) Há derivada direcional em